海伦公式最简单证明（第22集）

一·海伦公式

公园1世纪，希腊数学家海伦在其所著《度量论》一书中给出一个用三角形三边表达三角形面积的著名公式——海伦公式。

这个公式简洁，对称，极具美感，深刻揭示了数学之美和数学之妙。据称《度量论》一书曾一度失传，直至1896年舍内在土耳其发现了它的手抄本后，才于1903年校订出版。又据阿拉伯数学家比鲁尼称，该公式源于阿基米德，这个考证也曾得到“圈内人士”的认可，尽管如此，人们还是将它冠以海伦之名。

人们在研究，证明，乃至使用这个公式时，也许并不介意公式的背景。一个三角形当其三边长确定后，该三角形也就随之而确定，它的面积自然也确定了，这就为人们用三边长表示三角形面积提供了理论基础和依据。

二·三斜求积公式

1247年前后，我国宋代数学家秦九韶在其所著《数书九章》中，给出了另一个用三边表达三角形面积的公式——三斜求积。公式基于中国人善于的勾股思想，因而公式也具此形式，它用今天的数学符号表示为：

这个公式稍加推演，其实是与海伦公式等价的，正所谓英雄所见略同，殊途同归，遗憾的是这个公式不如海伦公式简洁优美。

三·海伦公式的证明

【证明】

1·向量法：

2·三角法：

3·平几法：

4·构造多项式：