角平分线证明（角平分线模型）

已知△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE，DF分别垂直于AB,AC，求证BE=FC

方法1：构造全等(AAS)，对应边相等

∵AD平分∠BAC

DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=FC

∵AB=AC

∴∠B=∠C

在△BED和△CFD中

∠B=∠C

∠DEB=∠DFC

DE=DF

∴△DEB≌△DFC

∴BE=FC

方法2：构造全等（HL），对应边相等

∵AD平分∠BAC

DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=FC

∵AB=AC

∴BD=CD

在Rt△BED和Rt△CFD中

DE=FC

BD=CD

∴Rt△BED≌Rt△CFD

∴BE=FC

方法3：见垂直构造角平分线，角平分线上得点到两边距离相等，本题方法3虽然麻烦，但是想通过本题给孩子传递两个信息，第1个信息见中点可倍长中线构造全长进行线段转移；第2个信息是可运用角平分线+垂直证明线段相等的解题策略；

延长FD至点G，使得DG=DF

∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线

∴AD⊥BC，BD=CD

∴∠ADB=∠ADC=90°

在△BDG和△CDF中

∠BDG=∠FCD

BD=CD，DG=DF

∴ △BDG≌△CDF

∴∠BDG=∠DFC=90°

∵DE⊥AB,DF⊥AC

∴∠DEA=∠DFA=90°

∵AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠ADF

∴∠ADE=∠ADF

∵∠ADB=∠ADC=90°

∴∠EDB=∠FDC=∠BDG

∴BD是∠EDG的角平分线

∴BE=BG=FC

通过本题，我们掌握证明线段相等的第1种和第3种解题策略：

策略1：证全等，得对应边相等；

策略2：垂直平分线上得点到线段两端距离相等；

策略3：证对角线和垂直，得对角线上得点到两边距离相等；

上期练习课内容：初二几何专题辅导练习课

——END——

本文作者：果爸，典型的闽南人，大学毕业后不务正业进入培训圈，从事一线教学和教研工作，创过业带过团队，现在二次创业中，有兴趣的朋友可以多多关注！本文首发于幼儿数学思维，转载请联系原作者。