证明同弧所对的圆周角相等（爱解中考压轴题）

2022年广东省第22题（倒数第二题），此题是以圆为背景的综合题。主要考查圆的基本性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理的运用等，基础题型，计算量非常小。

22.（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB．（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；（2）若AB=，AD=1，求CD的长度．

思路分析：第（1）问，可以猜测正确结果——△ABC是等腰直角三角形。因为AC是⊙O的直径，所以∠ABC=90，又因为∠ADB=∠CDB，利用“同弧所对的圆周角相等”，可得∠CAB=∠ACB，所以BA=BC，问题解决；第（2）问，在等腰直角三角形ABC中，AB=，利用勾股定理可求AC=2，AC为⊙O的直径，所以∠ADC=90°，AD=1，由勾股定理可求出CD的长度．

解题思路：