勾股定理的逆定理证明（一位高中数学教师眼中的勾股定理）

勾股定理从出现至今，大约有近500种证明方法，有解析、有演绎、有图形等等，下面给出几个图形的证法，体会数形结合的魅力。

01勾股定理的无字证明

毕达哥拉斯

01.1毕达哥拉斯的面积证法（公元前6世纪）

关键点：利用左右的面积的不同表示方法寻找联系，大部分公式的证法皆用此思路。

欧几里得

01.2欧几里得的“新娘的椅子”证法（公元前3世纪）

关键点：

首先证明△AGB≌△ACE,

其次可以得到△AGB的面积是正方形ACFG面积的一半，△ACE的面积是矩形AOME面积的一半，故而正方形ACFG面积=矩形AOME面积；

同理，正方形CBKH=矩形BDMO,从而可以得出a^2+b^2=c^2

01.3三国东吴人赵爽的“朱实——黄实”证法（公元3世纪）

关键点：c^2= (ab/2) ×4+(a-b)^2，依然是寻求两种表示的等量关系。

这个图形也是北京2002世界数学大会的会标。

01.4刘徽的割补证明（公元3世纪）

01.5印度婆什迦罗的证明（公元12世纪）

婆什迦罗在画出下图后只写了一个字“瞧”，充分体现了“无字证明”的惊奇神采。

加菲尔德

01.6加菲尔德证法

加菲尔德在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。

关键点：此证法依然采用两种表示间的联系。

上述六种证法实际上全部采用面积关系，两种表示之间的联系来进行证明的。好处就是初中水平的学生都可以看得懂，学得会，在提示之下自己可以单独证明。

这些证明方法也都有“魔术师帽子里的兔子”的嫌疑，究竟是是如何想到的，突破口在什么地方这些都是我们必须思考的问题，只有这样数学才有意思，人类才会向前发展。

其他代表证法一览

02勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。

这条定理的证法极多，其最简单的证明，寥寥数字即可完成。

根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a^2+b^2-c^2）÷2ab，

由于a^2+b^2=c^2，故cosC=0；

因为0°<∠C<180°，所以∠C=90°。（证明完毕）

不知是否有人怀疑，这个证明方法可行吗？是否有“循环论证”的弊端。在1979年的全国高考数学试卷中，其中第4题（共10道大题）就是证明勾股定理。当时很多考生对这道题的证明都犯了循环论证的错误：有的直接用余弦定理；有的用了解析几何中两点间距离公式；还有的用三角恒等式(sinɑ)^2+(cosɑ)^2=1.他们都忘记了这几个公式、定理的证明与推导都是来自于勾股定理。也就是说，使用了下面的推导顺序：

勾股定理→余弦定理（距离公式、(sinɑ)^2+(cosɑ)^2=1）→勾股定理

但是对于逆定理的上述证明方法，不存在循环论证的问题，这是因为逆定理和定理本身是两个彼此独立的命题，我们所依据的推导顺序是：

勾股定理→余弦定理→勾股定理的逆定理。

下面证法来自苏版教材八年级上册：

已知在△ABC中，a^2+b^2=c^2，求证△ABC是直角三角形

证明：做任意一个Rt△A'B'C'，使其直角边B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°。设A'B'=c'

在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得，A'B'=B'C'^2+A'C^2'= a^2+b^2=c'^2

∵a^2+b^2=c^2，∴cc'=c

在△ABC和A'B'C'中，∵AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'，∴△ABC≌△A'B'C'

∴∠C=∠C'=90°

实际上这种证法是欧几里得在《几何原本》中所给出的证明的翻版。

勾股定理及其逆定理同是成立，说明a^2+b^2=c^2这个条件既是一个三角形为直角三角形的必要条件，又是它的充分条件。

勾股定理的特征是把三角形中有一个直角的几何性质和代数关系式a^2+b^2=c^2联系起来。这个代数式给出了直角三角形中三边长度的依赖关系。