极化恒等式证明（以小博大）

“曲中求直，蓄而后发，此谓借力打人，四两拨千斤也”。出自武术大家李亦畲的《五字诀》，用于说明太极之奥义。

今天介绍一个平面向量的极化恒等式，亦有“四两拨千斤”之妙。一个公式，六种用法，小公式，大力量！

求解数量积常用的方法基底法、坐标法和图形法（几何意义法），但有时其解题过程运算复杂、过程繁冗，经常导致错误。此时若能巧用极化恒等式，往往化繁为简，快速找到解题突破口。本文以近几年高考、模拟试题为例，对极化恒等式在数量积问题中的应用进行分类整理，有助于学生成绩快速提升！

定理：设a，b是平面内的两个向量，则有a·b= 1/4［（a+b）²-（a-b）²］.

推导方式比较容易，只需将右侧平方公式打开即可！

几何意义：△ABC中，AD为中线。则有：

极化恒等式的几何意义

即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，揭示了三角形中线与边的关系，也可以理解为向量的数量积可表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的1/4。

特征：两个向量必须共起点，点D是两个向量夹角所对第三向量（这两个向量之差）上的中点。

题型一：三角形中数量积

【点评】利用极化恒等式构造方程组，从而求出数量积的值。对于从中线与底边这两个方向寻找基底向量的数量积问题，可以运用极化恒等式，把数量积转化为数量的运算，大大简化计算量！

【分析】此题是最值问题，标准答案是坐标法。计算量较大，此时利用极化恒等式直接将数量积转化，利用均值非常简单。

以下是几道三角形模型适合极化恒等式关于数量积的练习题。用来给学生练习使用。

题型二 四边形中数量积

配套练习

题型三 圆形中数量积

配套练习

题型四 圆锥曲线中数量积

配套练习

题型五 立体几何中的数量积

配套练习

题型六 多动点数量积

【分析】此题初看是可以使用极化恒等式求解，但学生一经分析便遇到了两个动点的困难，成了许多学生的“拦路虎”，此题需要结合转化的思想，挖掘静态条件，从而进行突破。需要将向量BP转化为向量BC+向量CP处理。

【点评】遇到多动点的问题的时候，要考虑“化动为静”，逐渐将多动点转化为少动点，这是一个重要的解题思想。

配套练习