如何证明重心定理（初中数学难点之五）

最简单、最常见、也是最重要的基本图形

一、 三角形定义

首尾顺序相连的三段线段组成的图形叫做三角形

二、 三角形的一些通用特点

两条直线之间有一个公共点，叫做两直线相交，公共点叫做交点

角

1. 三角形的内角和等于180度

证明：

做一边BC的延长线FG，过A点BC边的平行线DE。

因为FG//DE

所以：

∠1=∠2,∠3=∠4

因为：

∠1+∠BAC+∠3=180

所以：

∠2+∠BAC+∠4=180º

即三角形三个内角和为180º

2. 三角形的外角等于不相邻的两个内角和

证明：因为DE//FG

所以：∠1=∠2，∠3=∠4

∠3=∠1+∠BAC=∠2+∠BAC

因为∠3=∠4

所以：

∠4=∠2+∠BAC=∠ABC+∠BAC

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和

3. 两边之和大于第三边

根据定理，线段BC之间线段最短，因此a+c>b

同理可以适用于边AB、AC，因此有三角形两边之和大于第三边

4. 两边只差小于第三边

根据三角形两边之和大于第三边有：a+b>c

a>c-b

对于三角形的其它两个边可以推出同样的结果，因此有三角形两边之差小于第三边。

三、 三角形的线

1. 三角形的高

从三角形的一个顶点做对边的垂线，所得的垂线段叫做该边的高

2. 三角形中线

连接三角形的顶点和对边中点的线段，叫做该边的中线。

3. 三角形的角平分线

从某一顶点向对边引一条角平分线，所得线段叫做该顶点的角平分线

四、 三角形的心

1. 三角形的重心

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

重心定理：重心到到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。

2. 三角形的内心

三角形内切圆的圆心，是三角形三个内角的角平分线的交点。

3. 三角形的外心

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点。