证明矩形的四个角都是直角（八年级期末备考）

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含30度角直角三角形的三边关系、等腰三角形的三线合一性质都是八年级几何学习中重点，本文就例题详细讲解如何运用特殊三角形的性质解决几何证明计算题，希望能给大家复习备考提供帮助。

例题

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC。

（1）求证：OE＝OF；（2）若BC＝√3，求AB的长。

1、证明OE＝OF

根据三角形外角和性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角和，则∠BEF＝∠BAC+∠AOE。

根据题目中的条件和结论：∠BEF＝2∠BAC，∠BEF＝∠BAC+∠AOE，则∠BAC=∠AOE。

根据等边对等角的逆定理和结论：在三角形中，相等的两个角所对的边相等，∠BAC=∠AOE，则AE=OE。

根据矩形的性质和题目中的条件：矩形的对边平行，四边形ABCD为矩形，则AB∥CD。

根据平行线的性质和结论：两直线平行内错角相等，AB∥CD，则∠OCF=∠BAC，∠CFO=∠AEO。

根据题目中的条件和结论：∠COE=∠AOE，∠OCF=∠BAC，∠BAC=∠AOE，则∠COE=∠OCF。

根据等边对等角的逆定理和结论：在三角形中，相等的两个角所对的边相等，∠COE=∠OCF，则CF=OF。

根据题目中的条件和结论：AE＝CF，AE=OE，CF=OF，则OE＝OF。

2、求AB的长

添加辅助线分析：根据题目中的条件：BE＝BF，OE＝OF，得到等腰三角形和底边上的重点，考虑利用等腰三角形三线合一的性质，于是添加辅助线，构造等腰三角形底边上的中线，也是底边上高，得到直角三角形；再利用题目条件中角之间的数量关系，计算出直角三角形中非直角的大小，得到此三角形为含30度角的直角三角形；再利用特殊直角三角形三边关系计算求解三边的长度。所以，这样添加辅助线：连接BO。

根据全等三角形的判定定理、题目中的条件和结论：两组对边及其夹角分别相等的两个三角形全等，AE=CF，∠AEO=∠CFO，OE＝OF，则△AEO≌△CFO。

根据全等三角形的性质和结论：全等三角形的对应边相等，△AEO≌△CFO，则AO=CO。

根据矩形的性质和结论：矩形的四个角为直角，四边形ABCD为矩形，则∠ABC=90°。

根据直角三角形斜边中线定理和结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∠ABC=90°，AO=CO，则BO=AO=CO。

根据等腰三角形的性质和结论：等腰三角形的底角相等，BO=AO，则∠OAB=∠OBA。

根据题目中的条件和结论

根据等腰三角形三线合一的性质，题目中的条件和结论：等腰三角形底边上的中线是底边上的高，BE＝BF，OE＝OF，则BO⊥EF，即∠BOE=90°。

根据题目中的条件和结论：∠BEO+∠EBO+∠BOE=180°，∠BOE=90°，则∠BEO+∠EBO=90°。

根据题目中的条件和结论：∠BEO＝2∠OAB，∠OAB=∠EBO，∠BEO+∠EBO=90°，则3∠EBO=90°，即∠EBO=30°。

根据结论：∠OAB=∠EBO，∠EBO=30°，则∠OAB=30°。

根据含30度角直角三角形的三边关系，∠ABC=90°，∠OAB=30°，则：AC:AB:BC=2：√3：1。

题目中的条件和结论：BC＝√3，AB:BC=√3:1，则AB=3。

结语

特殊三角形具有特有的一些性质、定理，在几何证明计算题中的运用非常广泛，同学们在解题过程中必须这样做：认真审题，在图上作好标注，找出图形中包含的所有特殊三角形；根据题目中的条件，结合特殊三角形的性质、定理进行证明计算。只要按部就班地分析推理，就能成功应对这类题型，为期末考试中取得好成绩助力加油！