高等数学证明题500例解析（高等代数）

矩阵可逆的定义：令A是数域F上的一个n阶矩阵，若存在F上n阶矩阵B，使得

AB=E(E为n阶单位矩阵)

则A为可逆矩阵，并且将A的可逆矩阵

记作A⁻¹，称A⁻¹为A的逆矩阵。

可逆矩阵的性质1

可逆矩阵A的逆矩阵A⁻¹的逆矩阵为A

即(A⁻¹)⁻¹=A

证明：如果矩阵A为A⁻¹的逆矩阵，那么

根据矩阵可逆的定义，我们可以得到下面这个式子

A⁻¹A=E

所以，A为A⁻¹的逆矩阵。

可逆矩阵的性质2

如果矩阵A可逆，那么(kA)⁻¹=A⁻¹/k

证明：因为矩阵A可逆，所以AA⁻¹=E

所以，（A⁻¹/k)(kA)=[(A⁻¹/k)k]A

=A⁻¹A=E

所以，(kA)⁻¹=A⁻¹/k

可逆矩阵的性质3

如果矩阵A和B都是可逆矩阵，那么

(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹

证明：根据可逆矩阵的定义

(AB)B⁻¹A⁻¹=A(BB⁻¹)A⁻¹

=AEA⁻¹

=AA⁻¹=E

所以，这个等式成立。

可逆矩阵的性质4

如果矩阵A可逆，那么(Aᵀ)⁻¹=(A⁻¹)ᵀ

证明：根据可逆矩阵的定义

Aᵀ(A⁻¹)ᵀ=(A⁻¹A)ᵀ=Eᵀ=E

所以，这个等式成立。

可逆矩阵的性质5

如果矩阵A可逆，那么(Aᵏ)⁻¹=(A⁻¹)ᵏ

证明：根据矩阵可逆的定义

Aᵏ(A⁻¹)ᵏ=(AA⁻¹)ᵏ=Eᵏ=E

所以，这个等式成立。

矩阵可逆的性质6

如果矩阵A是可逆矩阵，那么|A⁻¹|=|A|⁻¹

证明：因为A为可逆矩阵，所以

AA⁻¹=E

从而，|AA⁻¹|=|A||A⁻¹|=|E|=1

进而，|A⁻¹|=1/|A|

即 A⁻¹|=|A|⁻¹