平行四边形的证明（初二下学期）

在解决平行四边形的问题时，有些题目直接证明可能比较困难，如果能借助平行四边形的基本性质（对边平行且相等、对角线互相平分、对角相等），添加适当的辅助线，巧妙地构造出新的平行四边形，那么就能达到化难为易的效果。

证明两条线段相等

例题1：如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，BE∥DF，BD∥EF，DF交AC于G.求证：AG＝EG.

分析：本题可以通过一组对边平行且相等构造平行四边形。通过“BE∥DF，BD∥EF”可以证明四边形BEFD为平行四边形，点D为AB的中点，那么AD=BD，因此连接DE、AF可证明四边形ADFE是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分可得结论。当然，本题也可以证明△AGD≌△EGF。

证明：∵BE∥DF，BD∥EF，

∴四边形BEFD是平行四边形．

∴EF＝BD.

∵D为AB的中点，

∴AD＝BD，

∴EF＝AD.

如图，连接DE，AF，

∵EF∥AD，

∴四边形ADEF是平行四边形．

∴AG＝EG.

证明两线段互相平分

例题2：如图，在平行四边形ABCD中，E，G，F，H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH.求证：EF与GH互相平分．

分析：证明EF与GH互相平分，证明两个三角形全等不容易实现，可以连接HE、EG、FG、HF，证明四边形HEGF为平行四边形，平行四边形的对角线互相平分。而要证明平行四边形，可以通过证明△HAE≌△GCF、△HDF≌△GBE，得到HF=EG、HE=FG，两组对边相等的四边形为平行四边形。

证明：如图，连接HE，EG，GF，FH

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AD＝CB.

∵BG＝DH，

∴AH＝CG.

又∵AE＝CF，

∴△HAE≌△GCF，

∴HE＝FG.

同理可证HF＝EG.

∴四边形EGFH是平行四边形．

∴EF与GH互相平分．

证明 两条线段平行

例题3：如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，过点O任作一直线分别交AB，CD于点G，H.求证：GF∥EH.

分析：要证明GF∥EH，可连接GE、FH，证明四边形GEHF为平行四边形，已经具备OE=OF，可再证明△AOG≌△COH得到OG=OH，对角线互相平分的四边形为平行四边形。根据平行四边形的性质即可得到对边平行。

证明：如图，连接GE，FH.

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，

∴∠BAO＝∠DCO.

又∵∠AOG＝∠COH，

∴△AOG≌△COH，

∴OG＝OH.

∵E，F分别为OB，OD的中点，

∴OE＝1/2OB＝1/2OD＝OF，

∴四边形EHFG是平行四边形．

∴GF∥EH.

证明线段和差关系

例题4：如图，在四边形BCED中，DE∥BC，延长边BD，CE交于点A，在边BD上截取BF＝AD，过点F作FG∥BC交EC于点G.求证：DE＋FG＝BC.

分析：证明DE＋FG＝BC可以利用截长补短法，本题通过一组对边平行且相等构造平行四边形，然后再证明一次三角形全等即可。

证明：如图，过点F作FM∥AC交BC于点M，

则四边形FMCG是平行四边形，∠BFM＝∠A.

∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B.

又BF＝AD，

∴△BFM≌△DAE，

∴BM＝DE.

∵四边形FMCG是平行四边形，

∴FG＝MC，

∴DE＋FG＝BM＋MC＝BC.

通过构造平行四边形可以证明线段相等、线段互相平分、线段平行、线段的和差关系等，学会构造平行四边形也是我们需要掌握的一种技能。