中位线的证明（中位三角形）

中位线，您不陌生吧？它是连接三角形两边中点的线段。每个三角形有三条中位线。学到这里，我们要透彻深刻地理解中位线，需要和中线，中垂线这两个概念进行对比辨析。

首先说一下，中线与中位线的区别。如上图所示，不再赘述。再说一下中垂线，中垂线是一条线段的垂直平分线。它不一定出现在三角形中，若出现在三角形中，则变为中垂线段。那么什么是“中位三角形”呢？

这个三角形的名字是我为了教学，提出的一个概念。定义为由三角形三条中位线组成的三角形，如上图中的三角形DFE。这个三角形比较特殊，经常在题目中出现，我们今天就一起来研究一下它的性质吧！

性质1:中位三角形的三条边，分别平行于原三角形对应的三条边，且分别等于对应三条边的一半。

性质2:中位三角形的周长等于原三角形周长的一半。

性质3:中位三角形的面积等于原三角形面积的四分之一。

性质4:被三角形三条中位线所分成的四个三角形，面积相等。

前两个性质证明比较简单，直接利用中位线定理即可证明。我们先来证明性质4:如上图所示，因为DF平行于BE，EF平行于DB，所以四边形DBEF为平行四边形，又因为DE为平行四边形DBEF的对角线，所以三角形DBE的面积等于三角形DEF的面积，同理可证得三角形DEF的面积等于三角形ADF的面积，还等于三角形ECF的面积。因此得出中位三角形DEF的面积等于原三角形ABC面积的四分之一，也就是我们的中位三角形性质3。

中位三角形的四个性质，会在大家解题时，起到开阔思路的作用。下面举例说明：

这是一道选择题。图中的三角形EDF即为中位三角形。先看A选项，如果DE=DF，则根据中位线定理，得到AC=AB，题目中的条件，不能得出三角形ABC一定是等腰三角形的结论，所以不正确。再看B选项，若成立，则2EF=AB，即BC=AB，也不一定，故不正确。C选项利用中线的性质和三角形等底同高面积相等的性质，可以证明。D选项可用反证法，加以证明，结论是不一定的。

对于上面的C选项，我们换一个解题思路：把三角形ABD的面积，看作是三角形BDE面积和三角形EDA面积的和，把三角形ADC的面积，看作是三角形DCF的面积和三角形ADF的面积之和，再利用中位三角形的性质4，结合平行四边形AEDF的性质，得出三角形AED的面积等于三角形DFA的面积，然后分别将面积相加，进而得出C选项的结论。

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