裴蜀定理证明（高一集合拓展）

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裴蜀定理

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数的定理。这个裴蜀看起来像中国人的名字，其实他是得名于法国数学家艾蒂安.裴蜀。裴蜀定理说明了对任何的整数a、b和他们的最大公约数d，关于未知数x和y的不定方程。

若a，b是整数，且gcd（a，b）=d。那么对于任意的整数x，y，ax+by都一定是d的倍数。特别地，一定存在整数x，y，使ax+by=d成立。

简单来说，ax+by=m（a，b，m∈Z）存在整数解的充分必要条件是：（a，b）| m （a，b的最大公约数能整除m）

举个栗子：

比如：方程15x+21y=78是否存在整数解？

利用裴蜀定理我们可以知道，15与21的最大公约数3能整除78，所以存在整数解。

再比如：方程7x+13y=25是否存在整数解？

同上，7和13的最大公约数是1能整除25，所以存在整数解。

拓展结论：当a与b互质时，方程ax+by=m一定存在整数解。

裴蜀定理的应用

①集合与集合的关系为：

解析：12m+8n+4l=4（3m+2n+l）；20p+16q+12r=4（5p+4q+3r）

由裴蜀定理可知（3,2,1）=1；（5,4,3）=1。所以这两个集合均表示所有的整数，所以集合M=N

② 设S是前2001个正整数的集合的一个子集，若S中任意两个数的差绝对值不等于4或7，问：S中最多可以有多少个元素？

解析：根据4和7互素可知，取前11个数，按照1,5,9,2,6,10,3,7,11,4,8排成一圈，这样能确保任意两个相邻的差的绝对值等于4或7.，所以要想选出符合条件的，只能选5个数。1-2001有182个子集，所以共有182×5=910个符合。

③集合

则集合M和N的关系为：

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