三角形内角和定理证明（三角形内角和一定是）

(作者：刘岳老师）

数学是一门学科，也是一门科学，作为一门科学的学科，然而有时候却并不如我们想象的科学那么可靠。

比如1+1的结果一定等于2吗？

不一定啊，比如

再比如：本命题是假命题。

如果这个命题是真命题，那么它又是假命题；如果这个命题是假命题，那么它又是真命题。那么它到底是真命题还是假命题？

有些我们坚信不疑的崩塌也只是在一瞬间，有些甚至我们并不能解释明白到底是对还是错，这是数学的魅力之处，也是数学的活力源泉。所以如果有人说，存在一个三角形，它的内角和不是180°，也不用太过惊讶，淡化固有的认知，才会有新知。

01、从几何学史说起

几何一词来自于希腊语，由“土地”和“测量”两词合并而成，也称“土地测量术”，几何的出现可追溯到古埃及，有文明出现的地方必然有条母亲河，而当雨季来临，尼罗河水泛滥，就会淹没了两岸的耕地，母亲河也有发脾气的时候。当河水褪去，人们需要对冲刷过的土地重新测量，所以就有了最初的几何。

尼罗河

另外埃及的金字塔同样能证明古埃及人们对立体几何也有相当的成就。古希腊“科学鼻祖”泰勒斯也曾到古埃及学习几何，也间接佐证了古埃及文明的成就。

然而古埃及的几何仅仅应用于生产生活，还远未到成为一门学科的地步，更谈不上科学，真正让几何发展为学科的还是要等到古希腊的时代。

通常所说的古希腊包括希腊半岛、爱琴海群岛和小亚细亚西岸一带，古希腊文明大约可以追溯到公元前2800年，一直延续到公元600年左右。

在公元前700—公元前300年左右，以雅典为代表的城邦民主政治的兴起，在古希腊掀起了一股学术风，人们往往需要靠理由说服别人，所以在解决问题的时候不仅仅是说“是什么”，还需说明“为什么”。

在浓厚的学术氛围下，诞生了一批杰出的学者，在他们的领导下，也催生出了一些学派，一时百花齐放、百家争鸣，又推动着古希腊科学的发展。

其中，号称古希腊七贤之首的泰勒斯引领了研究几何的新方向——论证几何。即几何中的结论是需要推导证明的，在一定的已知条件下，通过推理与论证去得到一些其他结论。

泰勒斯

比如以他名字命名的泰勒斯定理：直径所对的圆周角是直角。因为有了论证，有了推理，数学才能升级成为科学。

将演绎推理提升到一个新高度的是亚里士多德，他提出了三段论：大前提—小前提—结论。.

举个例子：

大前提：转发这篇文章的人都会有好运

小前提：小明转发了这篇文章

结 论：小明会有好运

这样的逻辑推理几乎撑起了几何学的大厦，而在亚里士多德之后，一位几何学的集大成者完成了对古希腊几何学的大一统。

欧几里得，公元前330年出生于雅典，此时，泰勒斯、毕达哥拉斯等上古大神早已化为尘土，亚里士多德也已老去，相应地，经历了经历了数百年的发展，几何学已初现雏形，这也为欧几里得所做的事情打下了坚实的基础。

《几何原本》，这个即便过了两个千年，依然是几何学里最经典的教材之一。大约在公元前300年左右，欧几里得完成了这本划时代的著作。

几何原本

在这本著作中，欧几里得首先列出了23条定义，以5条公设和5条公理为基础，演绎证明了465条定理。内容包括直线与圆的性质、比例论、相似形、数论、立体几何、穷竭法等共13卷。

欧几里得工作的重点不仅在于证明出这么多结论（事实上很多定理在此之前便已经有了定论），而是要将前人所得到的几何知识进行整理归纳，以5条公设为基础、演绎推理为手段，挖掘事实之间的联系，将原本零零散散的几何知识拧到一起，构造成了我们如今看到的几何体系。

就好比，已经有了砖、钢筋、混凝土等等，欧几里得便是那个设计图纸，将这些材料构建成几何大厦的那个人，因而我们通常所说的几何也以他的姓氏命名——欧氏几何。

02、第五公设

在欧氏几何里，5条公设尤为重要，因为它们是推导其他结论最初的大前提。

在这5条公设里有一条最为著名，即第五公设。

不妨先来看看前4条：

（1）任意两点确定一条直线；

（2）线段可延长为直线；

（3）以任意点为圆心，任意线段为半径可画圆；

（4）所有直角都相等。

也许你会觉得这不都是废话么，所谓公理，就是这样一些看起来显然成立、解释反而显得多余的结论，这样在运用的时候才不会有争议。反而，看起来不那么明显的，则容易招致非议。

比如，第五公设：

若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必相交。

说得简单些：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。

虽然这个结论看起来并没有什么争议之处，但作为公理，尤其是与前4条相比，这条也太不像公理了，不够简便、也不够直接。就好像有5位歌手同台演唱，前4位歌手分别是周杰伦、陈奕迅、林俊杰、王力宏，如果第5位是蔡徐坤的话，你有没有分分钟想掐死节目组的冲动。

一代又一代的数学家同样想掐死欧几里得，哦不，掐死这第五公设。

首先，如果在去掉这第五公设，几何会变成什么样？

结果就是你可能证明不了三角形内角和为180°，回想证明过程，不可避免地要利用平行线把三个角汇聚到一起，将内角和转化为平角从而得到180°的结果。

所以这里需要平行，那难道就没别的法子吗？

法国数学家帕斯卡年幼时提出过这样的想法，将矩形一分为二便可得到两个全等的直角三角形，所以任意的直角三角形内角和为180°。

而任意的三角形通过在内部作一边的高线可化为两个直角三角形，用两个直角三角形内角和360°减去一个平角180°，便可得这个三角形的内角和也是180°！

好像，在这个过程中，我们并没有用平行呐！

但，真的没有吗？

仔细回想，这个方法的第1步，矩形，为什么的它内角和为360°？

考虑如何画个矩形吧：

第1步：画一条线段；

第2步：过一端点作垂线；

第3步：作垂线；

第4步：作垂线。

通过作垂线的方式可以得到三个直线，那第4个角呢？为何也是直角？

我们需要第五公设，没有第五公设的几何寸步难行！

虽然觉得这个公设很异类，但无可奈何。又有人想着，能不能由前4条公设推出第5条呢？你随便推，退出来算我输。

如果打不过对方，就去投靠他们。

——凯文·杜兰特

03、非欧几何

貌似问题已经得到了终结，但再bug般的存在也抵挡不了历史车轮的碾压，经历了黎明前最后的黑暗，当真相浮出水面，会显得更加耀眼。

既然不能删去第五公设，那就替换它！

比如，过直线外一点，不存在任意一条直线与已知直线平行。

但是，这好像显然不成立呐！

在平面中确实不成立，但如果放到球面上，这就太正确了！至于为什么要涉及球面？不要忘了地球母亲就是个球啊！

试想一下，在球面上什么叫直线？假设把地球当作球面，每一条经线都相当于球面上的直线，赤道也是球面上的直线，而除赤道外的纬线，则都是曲线。

这一点可以从任意两点间最短的连线考虑，比如我们看地图上飞机的航线，为何不是画直线呢？因为在球面上看，这就是直线呐！

再回过头来看问题本身，比如，过北极点，是否存在直线和赤道平行？这不就是问有没有经线和赤道平行嘛，答案已经很明显了。

而且这个结论可以推广到球面上任意直线与点，所以第五公设不是必不可少，只不过替换过后的几何就不能叫欧氏几何了。

世上有两种几何

一种叫欧氏几何，一种叫非欧几何

在非欧几何里，刚刚所举的例子叫球面几何，就是那个黎曼猜想的黎曼。而在黎曼之前，还有人更早提出了非欧几何的概念。

罗巴切夫斯基，有战斗的地方怎能少了战斗民族，与黎曼相反，罗巴切夫斯基提出：过直线外一点，有不止一条直线和已知直线平行！

当然也不是在平面上，而是在双曲面上，也叫马鞍面。

双曲面

公理是演绎数学的基础，当基础不同的时候，上层建筑必定也不一样。

比如三角形的内角和，在欧氏几何中结果是180°，而在黎曼几何里，内角和大于180°，到了罗氏那里，就小于180°了。

黎曼几何额、欧氏几何、罗氏几何

甚至，我们可以在球面上画出一个内角和为270°的三角形，以地球为例，取北极点，赤道上任取一点，由赤道这一点移动四分之一个赤道得到第3个点，这就是了。

在几何的世界里，竟有如此精彩的篇章，有先人的成果，有大师的杰作，有挑战真理的决心，有无所畏惧的勇气，有开拓者、有践行者、有创新者，正因如此，经历起起落落，数学大厦屹立不倒！

谢谢阅读。