相似的证明方法（几何原本）

这一讲，我将向大家介绍第6卷“相似图形”中的命题21-命题25是如何证明的，这5个命题分别证明了以下结论：

命题21：相似于同一直线形的图形，彼此之间也相似。

命题22：有四条成比例的线段,若在这四条线段上作有相似位置的相似直线形，那么这些直线形的面积也是成比例的。若线段上所作的相似且有相似位置的直线形的面积是成比例的，那么这些线段也是成比例的。

命题23：等角的平行四边形的面积比等于其边的比的复比。

命题24：在任意平行四边形内，与其有公共对角线的平行四边形都相似于原平行四边形，且它们彼此相似。

命题 25:作一个直线形，该图形与给定直线形相似，且面积等于另一给定直线形的面积。

以下是这5个命题的证明过程：

命题 21:相似于同一直线形的图形，彼此之间也相似。

设直线形A、B均相似于直线形C。

目标:证明A与B相似。

证明:

1、因为A相似于C，所以A、C的各角相等，且夹等角的边成比例。【第6卷 定义1】

说明:该步骤运用了第6卷中定义1的结论:

定义1:相似的直线图形，各角对应相等且夹等角的边成比例。

2、又因为B相似于C，所以B与C的各角相等，且夹等角的边成比例。【第6卷 定义1】

3、所以A、B均与C的各角相等，且夹等角的边成比例。

4、因此，A相似于B。【第6卷 定义1】

命题22:有四条成比例的线段,若在这四条线段上作有相似位置的相似直线形，那么这些直线形的面积也是成比例的。若线段上所作的相似且有相似位置的直线形的面积是成比例的，那么这些线段也是成比例的。

情形一:

设AB、CD、EF、GH为四条成比例的线段，即AB比CD等于EF比GH。在AB、CD上作有相似位置的相似直线形KAB、LCD，在EF、GH上作有相似位置的相似直线图形MF、NH。

目标:证明KAB的面积比LCD的面积等于MF的面积比NH的面积。

证明:

1、取AB、CD的第三比例项O，EF、GH的第三比例项P。【第6卷 命题11】

说明:该步骤运用了第6卷中命题11的结论:

因O、F为第三比例项，则AB/CD=CD/O，EF/GH=GH/P。

2、又因为AB比CD等于EF比GH，所以CD比O等于GH比P，所以可得首末比例，AB比O等于EF比P。【第5卷 命题22】

说明:该步骤运用了第5卷中命题22的结论:

有a、b、c与d、e、f两组量，如果a/b=d/e，b/c=e/f，那么a/c=d/f。

3、而AB比O等于KAB的面积比LCD的面积，EF比P等于MF的面积比NH的面积【第6卷 命题19推论】，所以KAB的面积比LCD的面积等于MF的面积比NH的面积。

说明:该步骤运用了第6卷中命题19推论的结论:

如果三条线段成比例，那么第一条线段与第三条线段的比等于第一条线段上的图形与第二条线段上的与其相似且有相似位置的图形的面积比。

情形二:

另设KAB的面积比LCD的面积等于MF的面积比NH的面积。

目标:证明AB比CD等于EF比GH。

证明:

4、若AB比CD不等于EF比GH，设AB比CD等于EF比QR。【第6卷 命题12】

说明:《几何原本》第6卷中命题12证明了，如果已知a、b、c三条线段，可以用尺规作出这三条给定线段的第四比例项d，使得a/b=c/d。

5、在QR上作直线形SR，使其与MF或NH中的任意一个相似，且有相似的位置【第6卷 命题 18、命题21】。

6、因为AB比CD等于EF比QR。在AB、CD上作有相似位置的相似直线形KAB、LCD，在EF、QR上作有相似位置的相似直线形MF、SR，所以KAB的面积比LCD的面积等于MF的面积比SR的面积。

7、又因为KAB的面积比LCD的面积等于MF的面积比NH的面积，所以MF的面积比SR的面积等于MF的面积比NH的面积。【第5卷 命题11】

8、所以，MF的面积与NH、SR的面积相比有同样的比。所以，NH的面积等于SR的面积。【第5卷 命题 9】

9、又因为平行四边形NH与SR相似，且有相似的位置，所以GH等于QR。

10、因为AB比CD等于EF比QR，QR等于GH，所以AB比CD等于EF比GH。

11、综上，有四条成比例的线段，若在这四条线段上作有相似位置的相似直线形，那么这些直线形也是成比例的。若线段上所作的相似且有相似位置的直线形是成比例的，那么这些线段也是成比例的。

命题23:等角的平行四边形的面积比等于其边的比的复比。

设AC、CF为等角的平行四边形，角BCD等于角ECG。

目标:证明平行四边形AC与CF的面积比等于其边的比的复比。

证明:

1、将BC、CG置于同一直线上，因此，DC、CE也在同一直线上。【第1卷 命题14】

2、作平行四边形 DG 为补形。

3、引入线段K，使BC比CG等于K比L，DC比CE等于L比M。【第6卷 命题12】

4、因此，K和L的比与L和M的比分别等于边BC和CG的比与DC和CE的比。

5、而K比M等于K比L和L比M的复比。因此，K比M等于平行四边形边的比的复比。

说明:复比是指两项或两项以上比的前项、后项相乘构成的比。例如：a:b，c:d，e:f 的复比为ace:bdf。

6、因为BC比CG等于平行四边形AC的面积比CH的面积【第6卷 命题1】，而BC比CG等于K比L，所以K比L等于平行四边形AC的面积比平行四边形CH的面积。

说明:该步骤运用了第6卷中命题1的结论:

等高三角形或者平行四边形面积之比等于底边之比。

7、又因为DC比CE等于平行四边形CH的面积比CF的面积【第6卷 命题1】，而DC比CE等于L比M，所以L比M等于平行四形CH的面积比平行四边形CF的面积。

8、因为已经证明了K比L等于平行四边形AC的面积比平行四边形CH的面积，L比M等于平行四边形CH的面积比平行四边形CF的面积，因此有首末比，K比M等于平行四边形AC的面积比平行四边形CF的面积【第5卷 命题22】。

说明:该步骤运用了第5卷中命题22的结论:

有a、b、c与d、e、f两组量，如果a/b=d/e，b/c=e/f，那么a/c=d/f。

9、因为K比M等于平行四边形边的比的复比，所以平行四边形AC的面积比平行四边形CF的面积等于二者边的比的复比。

10、综上，等角的平行四边形的面积比等于其边的比的复比。

命题 24:在任意平行四边形内，与其有公共对角线的平行四边形都相似于原平行四边形，且它们彼此相似。

设ABCD是平行四边形，AC是其对角线。设平行四边形EG、HK的对角线为AC。

目标:证明平行四边形EG、HK均相似于平行四边形ABCD，且二者也相似。

证明:

1、因为EF平行于三角形ABC的一边BC，可得比例BE比EA等于CF比FA。【第6卷 命题2】

2、又因为FG平行于三角形ACD的一边CD，得比例CF比FA等于DG比GA。【第6卷 命题2】

3、因为已证明CF比FA等于BE比EA，所以，BE比EA等于DG比GA。

4、由合比例得，BA比AE等于DA比AG【第5卷 命题18】。再由更比例得，BA比AD等于EA比AG【第5卷 命题16】。

说明:该步骤运用了第5卷中命题18、命题16的结论:

①命题18:如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d 。

②命题16:如果a/b=c/d，那么a/c=b/d。

5、因此在平行四边形ABCD、EG中，夹公共角BAD的边是成比例的。

6、因为GF平行于DC，所以角AFG等于角DCA【第1卷 命题29】。又角DAC是三角形ADC、AGF的公共角，因此，三角形ADC与三角形AGF的各角相等【第1卷 命题32】。

7、同理，三角形ACB与三角形AFE的各角相等，所以平行四边形ABCD与平行四边形EG的各角相等。

8、因此，可得比例AD比DC等于AG比GF，DC比CA等于GF比FA，AC比CB等于AF比FE，CB比BA等于FE比EA【第6卷 命题4】。

9、因为已经证明了DC比CA等于GF比FA，AC比CB等于AF比FE，由首末比例可得，DC比CB等于GF比FE。【第5卷 命题22】

说明:该步骤运用了第5卷中命题22的结论:

有a、b、c与d、e、f两组量，如果a/b=d/e，b/c=e/f，那么a/c=d/f。

10、因此，在平行四边形ABCD、EG中，夹等角的边成比例。因此，平行四边形ABCD与平行四边形EG相似。【第6卷 定义1】

11、同理，平行四边形ABCD 与平行四边形KH也相似。因此，平行四边形EG、HK都与平行四形ABCD相似。

12、又相似于同一直线形的图形也彼此相似【第6卷 命题21】，因此，平行四边形EG与平行四边形HK相似。

13、综上，在任意平行四边形内，与其有公共对角线的平行四边形都相似于原平行四边形，且它们彼此相似。

命题 25:作一个直线形，该图形与给定直线形相似，且面积等于另一给定直线形的面积。

设ABC为给定的直线形。

目标:作一个与其相似的图形，且该图形与另一给定直线图形D的面积相等;所以，所作的图形既要与ABC相似，又要与D的面积相等。

证明:

1、在BC上作平行四边形BE并使其面积等于三角形ABC的面积【第1卷 命题44】，在CE上作平行四边形CM并使其面积等于D的面积，且角FCE等于角CBL【第1卷 命题45】。

2、所以，BC、 CF在一条直线上，LE、EM在一条直线上。【第1卷 命题14】

3、作BC、CF的比例中项GH【第6卷 命题13】。在GH上作KGH相似于ABC，且有相似的位置【第6卷 命题18】。

说明:该步骤运用了第6卷中命题13的结论:

因为GH是比例中项，所以BC/GH=GH/CF。

4、因为BC比GH等于GH比CF，若这三条线段是成比例的，那么第一条线段与第三条线段的比，等于第一条线段上的图形与第二条线段上与其相似且有相似位置的图形的面积之比【第6卷 命题19推论】，所以BC比CF等于三角形ABC的面积比三角形KGH的面积。

5、而BC比CF等于平行四边形BE的面积比平行四边形EF的面积【第6卷 命题1】。所以，三角形ABC的面积比三角形KGH的面积等于平行四边形BE的面积比平行四边形EF的面积。

6、所以，可得其更比例，三角形ABC的面积比平行四边形BE的面积等于三角形KGH的面积比平行四边形EF的面积。【第5卷 命题16】

说明:该步骤运用了第5卷中命题16的结论:

如果a/b=c/d，那么a/c=b/d。

7、而三角形ABC的面积等于平行四边形BE的面积，所以三角形KGH的面积等于平行四边形EF的面积。

8、因为平行四边形EF的面积等于D的面积，所以KGH的面积等于D的面积，且KGH也相似于ABC。

9、综上，所作直线形KGH与给定直线形ABC相似，且面积等于另一给定直线形D的面积。

好了，这一将就到这里了。

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