证明函数在区间内连续（关于函数的这些定理）

高等数学中，有关函数的定理有许多，但最常用的这些对于我们学习高等数学中函数的这一板块是十分重要的。下面就来一一介绍这些常用定理。

定理1 最值定理

顾名思义，最值定理可以判断该函数在某个闭区间上是否存在最值。而在使用该定理时，要十分注意其使用条件，那就是区间为闭区间，且函数在该闭区间上连续，这样必定能取到函数在该区间的最值且函数有界。其实很好理解这个定理，一段封闭的区间，函数在两端可以取到值，那么函数的最大最小值直接可以看得出来，最大最小值出来了，函数就是有界的。不好理解的话可以画个图来理解更直观。

最值定理

定理2 零点定理

要求函数零点或者函数零点的大致区间，可以用到零点定理。我们知道零点是函数与x轴相交的点的横坐标。可以想象到，一条曲线从x轴下方或上方穿过x轴进入到x轴上方或下方，那么该函数零点的左右两边的函数值是异号的。这样，利用零点定理我们就可以求出函数零点大致区间。若想求出函数零点，形如y=f(x)的函数，要求零点可以利用解方程f(x)=0求出x即为函数零点。

零点定理

定理3 介值定理

介值定理其实是零点定理的延伸，可以是想象成把x轴上下平移与函数在区间[a,b]中有交点，且f(a)=A，f(b)=B这样在该区间内必有一点c，能使f(c)=C，且C在区间[A,B]内。这点结合零点定理来理解就好。

介值定理

定理4 罗尔定理

罗尔定理在高等数学中是十分常用的，其定理的内容就不再赘述，可看下面的笔记，但要记住函数要满足闭区间连续开区间可导，且端点值相等。当我们看到题目函数已知两端的函数值相等，即可用到罗尔定理。要是题目中有提到函数某点的导数值为0，那么我们也可以很快想到罗尔定理，有些题目则需要对已知表达式进行变形得出导数值为0。

罗尔定理

定理5 拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是罗尔定理的进阶版，不需要两段函数值相等，只需要函数在闭区间连续开区间可导即可使用。对于题目中出现两段函数值不相等的时候，可以考虑用拉格朗日中值定理。通过画图可以知道，图中的两端点连线的斜率对应的就是拉格朗日中值定理的导数值。灵活运用拉格朗日中值定理对解题十分有帮助。

拉格朗日中值定理

定理6 柯西中值定理

柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的进阶版，这只需要函数在某闭区间连续开区间可导，且在分母的导数值不为0即可运用，而具体是否使用柯西中值定理，还得看题目的条件。一般题目有分式的形式，就会想到柯西中值定理。

柯西中值定理

对于使用哪种定理，第一是要看题目要求什么，第二是要看题目给出的已知条件能让我们使用哪种定理。关于函数定理有许多，这是比较常用的定理，有哪些定理还是比较常用的欢迎补充。