命题定理证明（欧几里得）

欧几里得（Euclid）是希腊数学家，最著名的是他的几何论文：原本。这影响了西方数学2000多年的发展。

欧几里得

出生 约公元前 325 年（可能）埃及亚历山大

逝世 约公元前 265 年 埃及亚历山大

亚历山大的欧几里得是古代最著名的数学家，最著名的是他的数学论文《元素》。The Elements经久不衰的性质必须使 Euclid 成为有史以来领先的数学老师。然而，除了他在埃及的亚历山大教书之外，人们对欧几里得的生平知之甚少。Proclus，最后一位主要的希腊哲学家，生活在公元450年左右写道（见[ 1 ]或[ 9 ]或许多其他来源）：-

不比这些[柏拉图的学生]年轻多少的是欧几里得，他整理了“元素”，整理了欧多克索斯的许多定理，完善了泰阿泰德的许多定理，并无可辩驳地证明了那些曾经只是被他的前辈粗略地证明了。这个人生活在第一托勒密时代；对于阿基米德，紧随其后的第一部托勒密提到了欧几里得，他们进一步说托勒密曾经问他是否有比《几何原本》更短的研究几何的方法，他回答说没有通往几何的王道。因此他比柏拉图的圈子年轻，但比埃拉托色尼和阿基米德；因为这些都是同时代人，正如埃拉托色尼某处所说。在他的目标中，他是一个柏拉图主义者，同情这种哲学，因此他以所谓的柏拉图人物的构造结束了整个“元素”。

某些作者还提供了有关 Euclid 的其他信息，但被认为不可靠。存在两种不同类型的这种额外信息。第一种类型的额外信息是由阿拉伯作家提供的，他们声称欧几里得是瑙克拉底的儿子，并且他出生在提尔。数学史学家认为这完全是虚构的，只是作者发明的。第二种信息是欧几里得出生在墨伽拉。这是由于首先提供此信息的作者的错误造成的。事实上，有一位墨伽拉的欧几里得，他是一位活到100岁左右的哲学家。比亚历山大的数学家欧几里德早几年。似乎有两个学识渊博的人叫欧几里得，这并非巧合。事实上，欧几里得在这一时期是一个非常常见的名字，这是一个更复杂的问题，使得很难发现关于亚历山大的欧几里得的信息，因为在这一时期的文献中提到了许多被称为欧几里得的人。回到上面给出的Proclus的引文，首先要说明的是，给出的日期没有任何不一致之处。然而，虽然我们不确定阿基米德的著作Proclus 中对欧几里得的确切引用指的是，在我们看来，只有一个提到欧几里得，这发生在球体和圆柱体上。因此，显而易见的结论是，Proclus的论点一切都很好，直到 Hjelmslev 在[ 48 ] 中提出质疑之前一直假设这一点。他争辩说，对欧几里得的引用是在后来的阶段添加到阿基米德的书中的，这确实是一个相当令人惊讶的引用。给出这样的参考不是那个时代的传统，而且阿基米德还有许多其他地方哪里适合引用欧几里得，但没有这样的引用。尽管 Hjelmslev 声称该段落是后来添加的，但 Bulmer-Thomas 在[ 1 ] 中写道：-

尽管不再可能依赖此参考文献，但对欧几里得作品的总体考虑……仍然表明他一定是在像欧多克索斯这样的柏拉图学生之后和在阿基米德之前写作的。

有关约会 Euclid 的进一步讨论，请参见示例[ 8 ]。关于数学家欧几里得的争论远未结束。Itard [ 11 ]最好地总结了这种情况，他给出了三种可能的假设。

( i )欧几里得是一个历史人物，他写了元素和其他归属于他的作品。( ii )欧几里得是在亚历山大工作的一组数学家的领导者。他们都为撰写“欧几里得全集”做出了贡献，甚至在欧几里得死后继续以他的名义写书。( iii )欧几里得不是历史人物。“欧几里得全集”是由亚历山大的一个数学家团队撰写的，他们从生活在大约100年前的墨伽拉的历史人物欧几里得中取名为欧几里得。

值得一提的是，接受 Hjelmslev 的关于欧几里得的段落被添加到阿基米德中的 Itard支持我们上面列出的三种可能性中的第二种。然而，我们应该对三种可能性做一些评论，公平地说，它们很好地总结了当前所有可能的理论。有一些强有力的证据可以接受（ i ）。2000多年来，每个人都毫无疑问地接受了它，几乎没有证据与这个假设不一致。的确，元素的某些书籍之间存在风格差异，但许多作者的风格各不相同。欧几里得无疑是基于以往作品的元素意味着如果没有原作者的风格痕迹，那将是相当了不起的。即使我们接受( i )那么毫无疑问欧几里得在亚历山大建立了一所充满活力的数学学校。因此，他会有一些能干的学生，他们可能会帮助写书。然而，假设（ ii ）比这更进一步，并且表明不同的书是由不同的数学家写的。除了上面提到的风格差异之外，几乎没有直接证据表明这一点。虽然从表面上看（三）似乎最天马行空的三点建议，不过在20日 的世纪例如布尔巴基表明，它是远远不行的。亨利·嘉当，韦依，让·迪厄多内，克劳德·舍瓦利和亚历山大格罗腾迪克的名义集体写了布尔巴基和布尔巴基的元素去mathématiques包含超过30卷。当然，如果（ iii ）是正确的假设，那么阿波罗尼乌斯在亚历山大与欧几里德的学生一起学习的人，一定知道没有人“欧几里德”，但他写道：-

.... Euclid 没有计算出关于三行和四行的轨迹的合成，而只是其中的一部分......

当然并不能证明欧几里得是一个历史人物，因为数学家们对布尔巴基有很多类似的引用，他们非常清楚布尔巴基是虚构的。尽管如此，组成布尔巴基小组的数学家们本身都是众所周知的，这可能是反对假设( iii )的最大论据，因为“欧几里得小组”必须由杰出的数学家组成。那么他们是谁？我们将在本文中假设假设( i )是正确的，但由于对欧几里得一无所知，我们必须在对可能的历史事件进行一些评论后专注于他的作品。欧几里得一定在柏拉图学院学习过在雅典学习了他非常熟悉的欧多克索斯和泰阿泰德的几何学。欧几里得的作品都没有序言，至少没有一个归于我们，所以极不可能存在任何人，所以我们无法从他们的序言的性质中看出他的任何性格，就像我们可以看到其他一些希腊数学家一样. Pappus写道（例如参见[ 1 ]） Euclid 是：-

......对所有能够以任何方式提高数学水平的人都是最公平和好心的，他们小心翼翼，绝不冒犯，尽管他是一位不自吹自擂的学者。

有人声称这些话已被添加到冠毛，肯定通道的点（在我们还没有引用的延续）是严厉的讲话（而且几乎可以肯定不公平）的阿波罗尼奥斯。然而，帕普斯所绘的欧几里得图确实与他的数学文本中的证据相符。Stobaeus [ 9 ]讲述的另一个故事如下：-

…… 一个开始跟欧几里德学几何的人，在学完第一定理后，问欧几里得：“学这些东西我能得到什么？” 欧几里得给他的奴隶打电话说：“给他三便士，因为他必须从他学到的东西中获利”。

欧几里得最著名的著作是他的数学论文《元素》。这本书是知识的汇编，成为2000年来数学教学的中心。《元素》中可能没有任何结果首先由欧几里得证明，但材料的组织及其说明肯定是由他完成的。事实上，有充分的证据表明，欧几里得在编写《元素》时使用了早期的教科书，因为他引入了很多从未使用过的定义，例如长方形、菱形和菱形的定义。该元素从定义和五个假设开始。前三个公设是构造公设，例如第一个公设说明可以在任意两点之间画一条直线。这些假设还隐含地假设点、线和圆的存在，然后从这些存在的事实推导出其他几何对象的存在。假设中还有其他不明确的假设。例如，假设有一条连接任意两点的唯一线。类似的假设二和三，分别在产生直线和画圆时，假设对象的唯一性，其构造的可能性是被假设的。第四个和第五个假设的性质不同。假设所有直角都相等的四个状态。这可能看起来“显而易见”，但它实际上假设空间是同质的——我们的意思是，一个图形将独立于它在空间中的位置。著名的第五假设或平行假设指出，通过平行于给定线的点可以绘制一条且只有一条线。欧几里得将其作为假设的决定导致了欧几里得几何。这是直到19个 世纪，这个假设是下降和非欧几里德几何进行了研究。还有一些公理，欧几里得称之为“共同概念”。这些不是特定的几何属性，而是允许数学作为演绎科学进行的一般假设。例如：-

与同一事物相等的事物彼此相等。

西顿的芝诺，在欧几里得写出《元素》大约250年后，似乎是第一个表明欧几里得的命题不是仅从公设和公理中推导出来的，而且欧几里德确实做出了其他微妙的假设。 该元素分为13本书。第一到第六本书涉及平面几何。特别是第一和第二本书列出了三角形、平行线、平行四边形、矩形和正方形的基本性质。第三卷研究圆的性质，而第四卷处理关于圆的问题，主要是为了阐述毕达哥拉斯的追随者的工作。第五册阐述了Eudoxus关于应用于比例的工作可公度和不可公度。希思说[ 9 ] :-

希腊数学没有比这个理论更好的发现了，它为几何学奠定了坚实的基础，因为它依赖于比例的使用。

第六本书着眼于第五本书的结果在平面几何中的应用。七到九本书涉及数论。特别是第 7 本书是对数论的独立介绍，其中包含用于找到两个数的最大公约数的欧几里得算法。第八本书着眼于几何级数，但范德瓦尔登在[ 2 ]中写道，它包含：-

... 繁琐的表述，不必要的重复，甚至是逻辑谬误。显然，欧几里得的论述只在他有极好的资源可供使用的部分中表现出色。

第十册涉及无理数理论，主要是泰阿泰德的著作。欧几里得改变了本书中几个定理的证明，使它们符合欧多克索斯给出的新的比例定义。第 11 到 13 本书涉及三维几何。在第十一本书中，给出了三本书所需的基本定义。然后，这些定理遵循与先前在第一和第四本书中给出的二维类似物非常相似的模式。第 12 本书的主要结果是，圆彼此之间是它们直径的平方，而球体彼此之间是它们直径的立方。这些结果肯定是由于Eudoxus. Euclid 使用Eudoxus发明的“穷举法”证明了这些定理。该元素与图书13，其中讨论的五个正多面体的性质，并给出了证明，有精确的5结束。这本书似乎主要基于Theaetetus的早期论文。 欧几里得的元素以清晰地陈述和证明定理而著称。几个世纪后，严格的标准成为微积分发明者的目标。正如希思在[ 9 ] 中所写：-

这本精彩的书，尽管有它的所有缺陷，但考虑到它的出现日期，这些缺陷确实是微不足道的，毫无疑问，它仍然是有史以来最伟大的数学教科书。......即使在希腊时代，最有成就的数学家也忙于它：Heron、Pappus、Porphyry、Proclus和Simplicius写了评论；亚历山大的席恩重新编辑了它，在这里和那里改变了语言，主要是为了更加清晰和一致......

这是一个引人入胜的故事，Elements如何从 Euclid 时代幸存下来，Fowler 在[ 7 ] 中很好地讲述了这一点。他描述了有关现存元素的最早材料：-

我们对欧几里得材料的最早一瞥将是一千年以来最引人注目的，六个包含文字和人物的残缺 ostraca ...... 1906 / 07和1907 / 08年在象岛发现......这些文字是早期的，但仍然更多超过100死后多年柏拉图 （他们是在约会的理由palaeographic在公元前三世纪的第三季度） ; 高级（他们处理在“元素” [第十三本书] ...关于五边形、六边形、十边形和二十面体的结果）; 并且它们不遵循元素的文本。......所以他们提供了公元前三世纪有人的证据，位于亚历山大以南500 多英里处，正在研究这种困难的材料......这可能是为了理解数学，而不是盲目的抄袭......

接下来的片段，我们没有从日期75 - 125 AD再次出现是有人试图了解的材料音符元素。 自1482 年首次印刷以来，《元素》已经出版了超过一千个版本。Heath [ 9 ]讨论了许多版本，并描述了这些年来文本可能发生的变化。 BL范德瓦尔登评估中的重要元素在[ 2 ]： -

几乎从它的写作时间到几乎持续到现在，元素已经对人类事务产生了持续而重大的影响。这是几何推理，定理，和方法中的至少所述主源，直到非欧几里德几何中出现19个 世纪。有时有人说，在西方世界出版的所有书籍中，仅次于圣经，《元素》可能是翻译、出版和研究最多的书籍。

欧几里德还写了以下幸存下来的书：数据 （有94 个命题），它着眼于在给定其他属性时可以推断出图形的哪些属性；关于分部，它着眼于将图形分成具有给定比例面积的两部分的结构；光学，这是希腊第一部关于透视的著作；和Phaenomena这是一个基本的介绍了数学和天文学的时间给出的结果明星在某些职位将上升和设置。Euclid 的以下书籍都已丢失：Surface Loci （两本书）、Porisms （有三本书工作，根据帕普斯，171个定理和38个引理），二次曲线 （四书），谬误的书和音乐元素。Proclus [ 1 ]描述了《谬误之书》：-

由于许多事情看似符合真理，遵循科学原理，却背离了原理，欺骗了更肤浅的东西，因此[欧几里得]也传授了对这些事情有清醒认识的方法……论文在其中他给我们的这个机器被称为谬误，列举各种类型，在每种情况下通过各种定理锻炼我们的智慧，将真与假并存，并将错误的反驳与实际相结合插图。

Elements of Music是一部由Proclus归于 Euclid 的作品。我们有两篇关于音乐的论文幸存下来，一些作者将其归于欧几里得，但现在认为它们不是Proclus所指的音乐著作。欧几里得可能不是一流的数学家，但元素的持久性质必须使他成为古代或可能有史以来领先的数学老师。作为最后的个人笔记，让我补充一点，我[ EFR ]自己在1950年代在学校对数学的介绍来自欧几里德元素的部分版本 并且这项工作为数学和证明的概念提供了逻辑基础，这在今天的学校数学中似乎是缺乏的。

参考资料

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