可微性的证明（数学家也会失误）

作者 | 大小吴来源 | 大小吴的数学课堂

课堂上学生们所遇到的困难，其实历史上数学家也会遇到。今天大小吴就带领各位了解历史上几位数学家的失误。

1 虚根相乘

众所周知，对于正数 、，有 。但对于负数 、，情况又是怎样的呢？

意大利数学家邦贝利给出了虚数相乘的运算法则。他把 称作“负之正”，把 称作“负之负”，并有“负之正乘负之正得负；负之正乘负之负得正；负之负乘负之负得负。”即：

上述运算法则都是正确的，但由于早期的数学家们对虚数的概念不甚了解，因为这样的运算法并没有被普遍理解和接受。

瑞士数学家欧拉给出如下结果：

丹麦数学家和数学史家邹腾在中学时代考试中碰到这样一道题目：已知 、 为正数，求 。邹腾给出的答案为 。

2 素数判定

1654 年，法国著名数学家费马写给帕斯卡的讨论“点数问题”的信中，告诉帕斯卡自己发现了一个“定理”——形如 （ 为非负整数）的正整数都是素数。

他写道：2 的平方加 1 为 5，是素数；

2 的平方的平方加 1 为 17，是素数；

16 的平方 1 为 257，是素数；

256 的平方加 1 为 65537，是素数；如此以至无穷。

不过接着他承认，上述“定理”的证明很难，他还没有完全找到。

一个世纪后，欧拉证明了 =5 时费马所说的数是合数：，从而证明了费马所谓的“定理”是错误的。

事实上，我们今天知道：对于 ，费马数都是合数。

3 连续性和可微性

连续性和可微性是微积分的基本概念，认为连续函数一定是可微的，今天对于一个学过高等数学的学生来说是不可原谅的错误。如函数 在 =0 连续，但它在 =0 不可导。

在微积分蓬勃发展时期，引进一致连续概念之前，人们（包括柯西在内）对收敛函数项级数可以逐项积分都深信不疑，和柯西同时代的几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微的。

1872 年魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一次演讲中，给出历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例子：其中 是奇数，，且 。

从而推动了以后一系列关于函数具有“反常”性态的研究发现。

4 分圆多项式

前苏联学者契巴塔廖夫又下列一组式子：......

于是契巴塔廖夫猜想：将 分解为不可约整系数多项式后，各项系数绝对值不超过 1（缺项的系数为 0）。

当 <105 时未发现意外，但是当 =105 时，依万诺夫却指出 有既约多项式：

这里 和 的系数均为 。

参考文献

[1]胡典顺.数学史上数学家的失误[J].数学教学通讯,2005(08):35-38.

[2]汪晓勤,苏英俊.数学家也会犯错误[J].中学数学教学参考,2004(03):63-64.