证明线性相关（用直观的方法理解抽象的概念）

在线性代数的课程中，你会被各种定义轰炸。线性代数教科书简直就是一本充满各种术语的字典，这些术语晦涩难懂，难以理解。学生们在考试前，只有几个月的时间来理解特征值，特征向量，厄米特矩等。

令人沮丧的是，老师通常不会在课堂上教矩阵的空间感、或者解释方程的深刻含义。相反，他们只是让你死记硬背解题方法，最终通过错误学习方法得到正确的答案，线性代数最终竟然被说成了是“文科”，背就可以了。线性代数实际上是数学的一个非常有趣的分支，但是当我们漫无目的地盯着矩阵看几个小时时，我们并不能理解它。

所以，今天我将带大家直观地理解线性代数中几个重要的概念：

线性相关、线性无关扩张空间基

我将用3篇文章分别深入探讨这三个概念。这篇文章用图案的类比，直观地解释了线性相关。扩张空间和基将在接下来的两篇文章中分析。

我假设你们熟悉向量的表示、向量的相加以及线性组合的概念。

色彩类比：线性相关

假设你是一个画家。如果我给你红、蓝、紫三种颜料，有没有可能把其中两种颜色混合在一起得到第三种颜色？答案显然是肯定的：红色和蓝色混合就会变成紫色。我们可以说这三种颜色是相互依赖的（线性相关）。

红+蓝=紫

如果我很吝啬，想在油漆上省钱，我可以只买红色和蓝色的颜料，而不是红色，蓝色，和紫色，因为我可以混合红色和蓝色的油漆得到紫色的油漆。所以，你可能会说“相互依赖”的结果是至少有一种颜色是不必要的（在这个例子中是紫色）。

每种颜色的比例也可以是不同的，而不仅仅是1:1的比例。如果我给你红、白和浅粉色三种颜料，你可能需要1份红色和16份白色才能得到那个特定的粉色。这些颜色仍然是相互依赖的，即使红色和白色的颜料组合不是五五开。

1分红+ 16分白=非常浅的粉红色

类似于色彩组合，向量的线性相关来自于组合向量来得到其他向量。假设有几个二维向量：v_1、v_2、w。这些向量绘制如下图。问：有没有一种方法组合v_1和v_向量来得到w向量？

在这种情况下，如果把v_1和v_2乘以2,然后把它们相加就得到了向量w。

那么我们称w是v_1和v_2的线性组合，这个向量序列是线性相关的。

线性无关

回到色彩组合，假设我给了你红，蓝，黄3种颜料。这些颜色是有关系的吗？有没有办法把两种颜色混合在一起得到第三种颜色？没有。再多的红色和黄色也不会产生蓝色，而只是得到不同深浅的橙色。同样，不管怎么把红色和蓝色混合在一起，也永远得不到黄色。所以我们称这三种颜色相互独立（线性无关）。

红+蓝无法组合成黄色，黄+蓝无法组合成红色，所以它们是相互独立的。

这与向量的线性无关相似但有点棘手，所以让我们从这开始：有没有办法组合v_1（0,1）和v_2（1,0）得到w（2,2）？本质上这个问题相当于解下面的方程，使等式成立：

答案是肯定的，对于任意倍数的w，例如（4,4），我可以取4 (v_1)+ 4 (v_2)来得到2w。在这种情况下c₁= 4、c₂= 4、c3 = 2。你可能已经注意到下面的等式也是成立的：

所有项都乘以0的“解”叫做平凡解。不管向量是线性相关的还是线性无关的，平凡解总是有效的，所以在这个意义上，平凡解没有用。

然而，另外两个解我们已经验证过，4 (v_1)+ 4 (v_2)= 2 (w)和2 (v_1)+ 2 (v_2)= w，这就意味着他们不是平凡解。

如果我有一些向量序列，比如(v_1，v_2，v_3，v_4，v_5)，我想把这些向量组合得到另一个向量的倍数：

如果这些向量对其中一个方程有非平凡解，那么这些向量是线性相关的。但是，如果没有一个非平凡解，这个序列是线性无关的。平凡解是与独立性无关的解。

我们以前的例子中，向量(v_1，v_2，w)是线性相关的。另一方面(v_1，v_2)本身是线性无关的，因为我们无法用v_1表示v_2或者用v_2表示v_1。

用色彩组合类比线性相关问题有点不准确，这里需要解释一下，红色+蓝色就是紫色，但是紫色+蓝色不是红色。但是在线性相关的向量中，任何向量都可以表示成其他向量的组合。

我已经证明w是v_1和v_2的组合，但是v_1也是v_2和w的组合，只是 不太明显：

解决该问题的一种方法是，想象从混合颜料中去除一定量颜料。然后我们可以将紫色表示为1（红色）+ 1（蓝色），然后将蓝色表示为1（紫色）-1（红色）。这意味着拿紫色涂料，除去红色涂料的一部分，留下蓝色。

总结

给定方程c_1v_1+ c_2v_2+…+ c_nv_n = 0v，其中所有v为向量，0v为零向量，c为标量，然后将所有c都设置为零称为平凡解。如果存在对方程c_1v_1+ c_2v_2 +…+ c_nv_n = 0v的非平凡解（这实际上意味着无穷解），那么一组向量与线性相关。如果不存在方程c_1v_1+ c_2v_2 +…+ c_nv_n = 0v的非平凡解，则这组向量是线性无关的。

线性相关性很重要的一个原因是，如果两个（或多个）向量线性相关，则其中必有一个是不必要的。这就像从调色板中删除紫色，因为已经有红色和蓝色（他们可以生成紫色）。

虽然通常不会以这种方式解释线性相关性和线性无关，但深入了解此概念很有帮助。它扩大了您对线性代数的理解范围。这就像看一幅地平线的画，有深红的落日和墨黑的河流。你会惊讶于画家在作画时所用的成千上万种颜色。或者，你可以注意到他们在整个过程中只使用红、黄、蓝。

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