介值定理的证明（图解闭区间上连续函数的性质）

工程问题上，研究连续函数的性质是十分重要的。它可以帮我们在一个可以接受的范围内，给出高次方程的近似解。所以让我们来研究它吧！我尽量图解来提高阅读体验。

既然都说了是研究闭区间上连续函数的性质，那以下性质一定离不开这两个条件了：闭区间 和连续函数

一.最值定理（了解）

内容：若函数F(x)在闭区间[a,b]上连续，则F(x)在[a,b]上一定能取得最大最小值

思考：为什么要闭区间 和连续函数这两个条件？

我们分开讨论一下吧！

1.为什么要非得闭区间这个条件不可？

那好我改成开区间，会怎样呢？

M为函数在（a,b)的最大值，b1为最小值

假如是开区间，像如图这种情况就取不到最小值了！

2.为什么要非得要连续函数这个条件不可?

我举个例子你就懂了

看~像这种在一定区间有间断点的函数（不连续），就没最大小值。

二.零点定理（重要）

内容：函数F(x)在闭区间[a,b]上连续，且F(a)*F(b)<0，则至少存在一点δ∈(a,b)，使得f(δ)=0。

为什么说至少存在一点δ∈(a,b)，使得f(δ)=0呢？

画个图就很清晰了。

由图可以看出它是可以存在多个零点的，所以说它至少存在一点δ∈(a,b)，使得f(δ)=0。

应用：二分法求解高次方程的近似解（一个无限逼近正确解的过程）。

5次及5次以上方程没有根式解（阿贝尔证明过），在工程问题上一般用二分法求解方程的近似解。

三.介值定理（由零点定理基础上推导而来）

内容：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)不等于f(b),则在f(a)与f(b)之间的任意一个常数C，至少存在一点δ∈(a,b)，使得f(δ)=C。

如图表达：

为什么说介值定理是由零点定理基础上推导而来呢？

我们来利用零点定理一遍：

我们构造一个辅助函数F(x)=f(x)-C

为什么这么构造？

我给个图，直观感受这个变化：

左图为f(x)图，右图为F(x)=f(x)-C图

这就可以把它转成能用零点定理处理的函数了。

由f(x)在[a,b]上连续，且C在f(a)与f(b)之间，则F(x)在[a,b]上连续，F(a)*F(b)<0

用F(x)=f(x)-C做一下替换就得：[f(a)-c]*[f(b)-c]<0.由零点定理可知，至少存在一点δ∈(a,b)，使得F(δ)=0，f(δ)-C=0，即f(δ)=C。

好了，谢谢大家的认真阅读[笑]