证明二元函数可微例题（数学笔记）

一、定义

y=f(x)，(x∈D), x0∈D, x0+Δx∈D

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

若Δy=AΔx+o(Δx)，称y=f(x)在x=x0可微

意思是Δy若能表示为一个常数乘以Δx和一个Δx的高阶无穷小的和，就称y=f(x)在x=x0可微

称AΔx为y=f(x)在x=x0这点的微分

dy|x=x0=AΔx=Adx, dx也是微分

二、Notes

1、可导 <=> 可微

证明：

“=>”:设lim(Δx->0)f(x)=A

则Δy/Δx=A+α, α->0(Δx->0)

Δy=AΔx+Δxα,

lim(Δx->0)[Δxα/Δx]=0,

即Δxα=o(Δx)

所以Δy=AΔx+o(Δx)

所以y=f(x)在x=x0点可微

“<=”:设Δy=AΔx+o(Δx)

Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx

因为lim(Δx->0)[o(Δx)/Δx]=0

所以Δy/Δx=A+α, α->0, (Δx->0)

所以y=f(x)在x=x0点可导

2、y=f(x)，x=x0，Δy=AΔx+o(Δx)，则A为f'(x0)，A为该点导数

3、y=f(x)，x=x0，Δy=AΔx+o(Δx)，则(dy|x=x0)=AΔx=f'(x0)Δx=f'(x0)dx

若y=f(x)可导，dy=df(x)=f'(x)dx

如：

d(x^3)=(x^3)'dx=3x^2dx

d(e^3x)=3e^3xdx

x^2dx=d(1/3*x^3+C)

1/(1+x^2)*dx=d(arctanx+C)

4、若y=f(x)在x=x0可微，则：

Δy=f'(x0)Δx+o(Δx), dy|x=x0 = f'(x0)dx

=> Δy-dy=o(Δx)

5、设y=f(x)在x=x0可微，则

dy=f'(x)Δx

f'(x)为y=f(x)在x=x0对应点的斜率

三、微分的几大工具

1、公式

d(c)=0

d(x^n)=nx^(n-1)dx

d(a^x)=a^x*lna*dx

d(sinx)=cosxdx, d(cosx)=-sinxdx

d(loga(x))=1/(xlna)*dx

......

2、四则

d(u±v)=du±dv

d(uv)=dudv

d(u/v)=(vdu-udv)/v^2

3、复合

y=f(u)

(1)dy=f'(u)du

(2)若u=g(x), dy=f'(u)du=f'(u)g'(x)dx

四、近似计算

设y=f(x)在x=x0可微

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0)Δx+o(Δx)

=>Δy≈f'(x0)Δx

=>f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)Δx