证明函数连续的方法（连续性和无穷小）

连续 这个词的通常含义是“不间断的”或“不间断的”：因此一个连续的实体——一个连续体——没有“间隙”。我们通常假设空间和时间是连续的，某些哲学家坚持认为所有自然过程都是连续发生的：例如，请见证莱布尼茨著名的格言natura non facit saltus——“自然不会跳跃。” 在数学中，这个词的使用具有相同的一般意义，但必须提供越来越精确的定义。因此，例如，在 18 世纪后期，函数的连续性被认为是指参数值的无穷小变化引起函数值的无穷小变化。随着 19 世纪无穷小数的放弃，这一定义被更精确的极限概念所取代 。

传统上，一个极小的 数量是一个，其，而不一定与零重合，在某种意义上是比任何有限数量小。对于工程师来说，无穷小是一个小到可以忽略它的平方和所有更高次幂的量。在极限理论中，术语“无穷小”有时适用于极限为零的任何序列。一个 极小的幅度可以被视为剩下后一个统一体已经经历了详尽的分析，换句话说，作为一个连续统一体“的小观察。” 正是在这个意义上，连续曲线有时被认为是由无穷小的直线“组成”。

无穷小有着悠久而丰富多彩的历史。它们在希腊原子论哲学家德谟克利特（公元前 450 年）的数学中很早就出现了，只是被数学家欧多克索斯（公元前 350 年）在后来成为官方“欧几里得”数学的东西中驱逐了。它们以有些晦涩的“不可分”形式重新出现在中世纪晚期的数学中，后来在微积分的发展中发挥了重要作用。他们可疑的逻辑地位在 19 世纪导致了他们被极限概念的抛弃和替代。然而，近年来，在严格的基础上重新建立了无穷小的概念。

1. 引言：连续、离散和无穷小2. 古代的连续统与无穷小3. 中世纪、文艺复兴和近代早期的连续统和无穷小4. 17 和 18 世纪的连续统和无穷小5. 19 世纪的连续统和无穷小6. 对算术化的批判性反应7. 非标准分析8.建设性的实线和直觉连续统9. 平滑无穷小分析

1. 引言：连续、离散和无穷小

我们都熟悉连续性的概念。是连续的[ 1 ] 是构成一个完整的或不间断的整体，如海洋或天空。一个连续的实体——一个连续体——没有“间隙”。与连续性相反的是离散性：离散[ 2 ] 就是分离，就像海滩上散落的鹅卵石或树上的树叶一样。连续意味着团结；离散性，多元性。

虽然不可分割是连续统的基本性质， 但通常（尽管并非总是如此）认为任何连续统都允许无限制地重复或连续 分割 。这意味着将它分割成更小的部分的过程永远不会以 不可分割的或一个原子结束——也就是说，这个部分本身缺乏适当的部分，无法进一步分割。总之，康体是没有限制整除或无限可分的。因此，连续统一体隐藏了潜在的无限多元。在古代，这种说法遇到了反对意见，即如果完全执行（如果只是在想象中）划分扩展量级的过程，例如一条连续线，那么量级将减少到多个原子 - 在此情况下，无扩展点 - 甚至可能根本没有。但是，有人认为，无论有多少这样的点——即使是无限多——它们都不能“重新组合”以形成原始大小，因为肯定是无可拓元素的总和仍然缺乏可拓[ 3 ]. 此外，如果在除法之后确实（似乎不可避免）还有无限多的点，那么，在 Zeno 之后，大小可以被认为是一个（有限的）运动，导致看似荒谬的结论，无限多的点可以被“触及”在有限的时间内。

这些困难出席的诞生，在5个世纪BCE，学校的原子论。该学派的创始人 Leucippus 和 Democritus 声称，物质，以及更普遍的广延，不是无限可分的。不仅物质的连续分裂最终会终止于原子，即无法进一步分裂的离散粒子，而且物质实际上必须被认为是由这些原子复合而成的。在攻击无限可分性的同时，原子论者同时提出了连续性最终可以还原为离散性的主张，无论是在物理、理论还是感知层面。

物理学中的原子理论和化学在19的最终胜利日世纪铺平了的“原子论”的理念的方式，为适用于没关系，至少，成为广为熟悉的：它很可能是说，以适应威廉爵士Harcourt 对他那个时代的社会主义者的著名评论：“我们现在都是原子主义者。” 然而，只有少数过去的哲学家在形而上学的层面上支持原子论，这一事实可以解释为什么类似的坚持连续性的学说缺乏一个熟悉的名字：无意识地承认的东西不需要名字。Peirce为他自己的哲学创造了Synechism一词（来自希腊语 Syneche， “连续的”）——这种哲学在“被连接”的意义上渗透了连续性的概念[ 4 ]。在这篇文章中，我将使用 Peirce 的术语，并在某种意义上使用它，它没有 Peirce 的暗示，只是作为与原子主义的对立面。我还将使用术语“分裂主义”来表示连续体是无限可分的更具体的学说。

与连续体的概念密切相关的是无穷小的概念 。[ 5 ] 一个无穷小的量级被认为是一个“从小角度看”的连续体，一个连续体的“最终部分”。就像一个离散实体是由它的单个单元组成的一样，它的“不可分割的”，因此，它被认为，一个连续体是由无穷小的数量“组成”的，它的最终部分。（例如，正是在这个意义上，17世纪的数学家们世纪认为连续曲线是由无穷小的直线“组成”。）现在，连续体的“连贯性”意味着它的每个（连接的）部分也是一个连续体，因此是可分的。由于点是不可分割的，因此没有点可以成为连续体的一部分。无穷小量作为连续体的一部分，必然不能是点：总之，它们是非点状的。

量级通常被视为广 延量，如质量或体积，它们是在空间的扩展区域上定义的。相比之下，无穷小的量级被解释为类似于局部定义的强度量（例如温度或密度）的强度量级。将一个强度量“分布”或“积分”到这样一个强度量级上的效果是将前者转化为一个无穷小的广延量：因此温度转化为无穷小的热量，密度转化为无穷小的质量。当连续体是运动的轨迹时，相关的无穷小/密集幅度已被识别为 潜在的量级——实体本身虽然不具有真正的量级，但具有通过运动产生量级的倾向，因此表现出“成为”而不是“存在”。

无穷小的数目是一个，其虽然不具有零重合，在某种意义上是比任何有限数量少。这种意义通常被认为是未能满足阿基米德原理，这相当于说无穷小数是一个无论与自身相加多少次，结果仍然小于任何有限数的数。在工程师对微分的实际处理中，无穷小是一个小到可以忽略其平方和所有更高次幂的数。在极限理论中，术语“无穷小”有时适用于极限为零的任何序列。

不可分割 的概念与无穷小密切相关，但又要区别于无穷小。根据定义，不可分割是不可分割的东西，这通常被理解为它没有适当的部分。现在，一个无部分或不可分割的实体不一定是无限小的：灵魂、个体意识和莱布尼茨单子都被认为缺乏部分，但肯定不是无限小的。但这些都有一个共同的特点，即未扩展；线、曲面和体积等扩展实体证明是“不可分割”的更丰富的来源。事实上，如果分裂这些实体的过程要终止，正如原子论者所坚持的那样，它必然会产生性质不同的不可分的东西。在直线的情况下，这些不可分的元素可能是点；在圆形的情况下，直线; 在圆柱体被平行于其底部的部分划分的情况下，圆。在每一种情况下，所讨论的不可分在这个意义上都是无穷小的 比生成它的图形少一个维度。在16个和17个在这个意义上世纪indivisibles中的区域和的曲线图中的卷计算中所使用的，表面或体积为作为一个集合，或总和，线性的，或平面indivisibles分别的思想。

无穷小的概念从一开始就受到争议的困扰。这个想法在希腊原子论哲学家德谟克利特 c 的数学中很早就出现了。公元前 450 年，只会被放逐 c. 公元前 350 年，欧多克索斯在后来成为官方的“欧几里得”数学中。我们注意到它们在 16 和 17 世纪以不可分割的形式重新出现：开普勒、伽利略的学生卡瓦列里、伯努利家族和其他一些数学家以这种形式系统地使用它们。以“linelets”和“timelets”这个名字令人着迷的幌子，无穷小在巴罗的“计算求切线的方法”中发挥了重要作用，该方法出现在他的Lectiones Geometricae1670 年。作为“渐逝量”，无穷小在牛顿的微积分发展中起到了重要作用（尽管后来被放弃了），并且作为“不可分配量”，在莱布尼茨的发展中。Marquis de l'Hôpital 于 1696 年发表了关于微积分的第一篇论文（题为“ Analyze des Infiniments Petits Pour l'Intelligence des Lignes Courbes”），引用了这个概念，假设“一条曲线可以被视为由无限小的直线段”，并且“可以将相差无限小的量的两个量视为相等”。

不管它在实践中多么有用，无穷小的概念几乎经不起逻辑审查。通过伯克利在18嘲笑个世纪为“离去量的鬼”，在19个世纪由坎托憎恨为“霍乱杆菌”感染数学，并在20个全面罗素谴责为“是不必要的，错误的，并自相矛盾”，这是有用的，但在逻辑上被认为可疑的实体已在分析由极限概念的基础，其采取严厉和决赛的形式在19的后半段被最终取代日世纪。到了20年初次 世纪以来，无穷小的概念至少在分析上已经变成了一个虚拟的“非概念”。

然而，对无穷小的取缔并没有成功地消灭它们。相反，他们被驱赶到更深的地下。例如，物理学家和工程师从未放弃将它们用作在微积分应用于物理问题时推导正确结果的启发式设备。李和嘉当高度的微分几何依赖于它们在概念的表述中的使用，这些概念后来被置于“严格”的基础上。而且，从技术意义上讲，它们继续存在于代数学家对非阿基米德域的研究中。

在过去的几十年里，随着无穷小概念在坚实基础上的重新建立，连续与离散之间的长期较量开启了一个新阶段。这两种本质不同的方式实现了，在一个提供无穷的想法严格的配方数量，其他无穷的幅度。

首先，在 19 世纪 60 年代，亚伯拉罕·罗宾逊（Abraham Robinson）使用数理逻辑方法创建了非标准分析，这是数学分析的扩展，包括“无穷大”和无穷小数，其中实数算术的通常定律继续成立，这是一个想法从本质上讲，这可以追溯到莱布尼茨。这里的无穷大数是指超过每一个正整数的数；其中任何一个的倒数都是无穷小的，因为它虽然非零，但小于每个正分数 1/ n。非标准分析的大部分有用性源于这样一个事实，即在其中每一个涉及极限的普通分析陈述都有一个简洁而高度直观的翻译成无穷小语言。

无穷小概念的第二次发展发生在 19 世纪 70 年代，随着合成微分几何的出现，也称为平滑无穷小分析。基于美国数学家 FW Lawvere 的思想，采用范畴论的方法，平滑无穷小分析提供了一个世界的形象，其中连续是一个自主的概念，不能用离散来解释。它为数学分析提供了一个严格的框架，其中空间之间的每个函数都是平滑的（即，可以任意多次微分，因此特别是连续的），并且在定义微积分的基本概念时使用极限被幂零无穷小代替，也就是说，数量非常小（但实际上不是零），以至于某些幂（最有用的是平方）消失了。平滑无穷小分析以曲线的无穷小切向量的形式体现了强度大小的概念 。曲线上点p处的切向量是一条穿过该点并沿曲线指向的短直线段 l。事实上，我们可以认为l实际上是曲线的无穷小 部分。平滑无穷小分析中的曲线是“局部直的”，因此可以被认为是由 de l'Hôpital 意义上的无穷小直线“组成”，或由无穷小切向量“生成”。

非标准和平滑无穷小分析的发展为无穷小概念注入了新的活力，并且——尤其是在与平滑无穷小分析相关的方面——提供了对连续统性质的新见解。

2. 古代的连续统与无穷小

连续性和离散性之间的对立在古希腊哲学中发挥了重要作用。这可能源于关于“一”与“多”的更基本的问题，这是早期希腊思想核心的对立面（参见 Stokes [1971]）。希腊关于连续和离散的争论似乎是由巴门尼德（公元前 515 年）和芝诺（公元前 460 年）等埃利亚派哲学家为建立绝对一元论[ 6 ]的学说而发起的。他们担心的是，存在的可分割性会导致矛盾，从而得出这样的结论：表面上多样化的世界是一个静态的、不变的统一体。[ 7 ] 在他的真理之路上巴门尼德断言存在是同质的和连续的。然而，断言巴门尼德存在的连续性可能只不过是强调其本质的统一性。巴门尼德似乎声称存在不仅仅是连续的——事实上，它是一个单一的整体，确实是一个不可分割的整体。单一的巴门尼德存在是一个没有部分的连续体，既是连续体又是原子。如果巴门尼德是一个合一论者，那么他的绝对一元论排除了他同时也是一个分裂主义者的可能性。

为了支持巴门尼德的不变学说，芝诺提出了他著名的运动悖论。（参见芝诺悖论的条目 ）二分法 和阿基里斯悖论都明确地基于空间和时间的无限可分性。

学说 原子论，[ 8 ] 这似乎在逃避爱利亚困境已出现作为一种尝试，是首先是一个物理理论。它由 Leucippus（公元前440 年）和德谟克利特（公元前 460-457 年）安装，他们认为物质不能无限制地分割，而是由不可分割的、实心的、同质的、空间延伸的小体组成，所有小体都低于能见度.

原子论受到亚里士多德（公元前 384-322 年）的挑战，他是第一个对连续性和离散性进行系统分析的人。他是一位彻底的联合论者，他坚持认为物理现实是一个连续的全会，空间、时间和运动所共有的连续体的结构不能还原为其他任何东西。他的回答爱利亚问题是，连续幅度潜在可分到无穷远，在这个意义上，它们可以被划分在任何地方，虽然他们不能分割 到处在同一时间。

亚里士多德将连续性和离散性确定为适用于数量范畴的属性[ 9 ]。作为连续量或连续体的例子，他提供了线、平面、实体（即实体）、延伸、运动、时间和空间；在离散量中，他包括数字[ 10 ] 和语音[ 11 ]。他还规定了许多术语的定义，包括连续性。实际上，亚里士多德将连续性定义为实体之间的关系，而不是属于单个实体的属性；也就是说，他没有提供一个明确的概念定义连续体。他观察到，通过将两个接触的事物“粘合在一起”，可以形成一个单一的连续整体，这表明整体的连续性应该源于其部分 “连接”的方式。因此，对于亚里士多德的量，例如线和面，空间和时间是连续的，因为它们的组成部分“在某个公共边界处连接在一起”。相比之下，离散量的任何组成部分都不能拥有公共边界。

亚里士多德竭力捍卫的中心论点之一是连续统对离散的不可约化——连续统不能由不可分或原子“组成”，这些部分本身不能进一步划分。

亚里士多德有时承认无限可分性——可以被分割成本身可以进一步分割的部分的特性，这个过程永远不会以不可分割的形式结束——作为他描述概念的连续性的结果。但有时他将无限可分性作为定义连续性的属性。亚里士多德证明了后来被称为同构 命题的正是这种连续性的定义，该命题断言量级、时间和运动都是连续的，或者它们都是离散的。

量值是永远可分为更小的单位，还是只能被分割为某个原子量级的问题导致了可分割性的困境（见米勒 [1982]），这是亚里士多德在分析连续体时必须面临的困难. 在困境的第一个或虚无主义角中，有人认为，如果量级处处可分，则完全进行这种划分的过程会将量级减少到无广延点，甚至可能为零。第二个或 原子论的号角始于这样一个假设，即量值并非处处可分，并导致同样令人不快的结论（至少对亚里士多德而言），即不可分的量值必须存在。

作为 彻头彻尾的唯物主义者，伊壁鸠鲁[ 12 ]（公元前 341-271 年）无法接受亚里士多德的连续性理论所依据的潜力概念，因此在概念和物理意义上都被推向了原子论。像留西帕斯和德谟克利特一样，伊壁鸠鲁认为有必要假设物理原子的存在，但为了避免亚里士多德的严格要求，他提出这些原子本身不应在概念上不可分割，而应 包含在概念上不可分割的部分。亚里士多德已经证明连续的大小不能由点组成， 也就是说，不可分割的单位缺乏延展性，但他并没有证明不可分割的单位必然缺乏延展性。伊壁鸠鲁满足了亚里士多德的论点，即通过将不可分割的部分视为具有广延性的不可分割的数量单位，连续统不能由这些不可分割的部分组成。

与原子论者相反，斯多葛派哲学家芝诺 (公元前 250 年) 和克里西普斯 (公元前 280-206 年) 坚持亚里士多德的立场，即空间、时间、物质和运动都是连续的（参见 Sambursky [1963], [1971] ]；怀特 [1992])。而且，像亚里士多德一样，他们明确拒绝宇宙中任何可能存在的虚空。宇宙中弥漫着一种连续的无形物质，他们称之为pneuma（希腊语：“呼吸”）。这种气——被认为是空气和火的一种综合，四种基本元素中的两种，另一种是土和水——被认为是一种弹性介质，通过波浪运动传递脉冲。所有物理事件都被视为通过气中的张力联系在一起，物质本身被认为是从它所包含的气的“结合”特性中获得它的品质。

3. 中世纪、文艺复兴和近代早期的连续统和无穷小

中世纪欧洲的经院哲学家受制于亚里士多德的巨大权威，大多以一种或另一种形式订阅了这篇论文，在物理学第六卷中，大师进行了非常有效的论证，连续体不能由不可分割的部分组成。另一方面，经院神学神明的无限性与亚里士多德关于无限只存在于潜在意义上的论点背道而驰，使某些学者大胆推测，即使在神格之外也可能找到实际的无限，例如在一条连续线上的点的组合中。当时的一些学者，例如 Harclay 的 Henry (c. 1275-1317) 和 Nicholas of Autrecourt (c. 1300-69) 选择追随伊壁鸠鲁，坚持原子论的合理性并试图规避亚里士多德的反驳（参见 Pyle [1997] ）。

这种初期的原子论遇到了由约翰·邓斯·史考特 (John Duns Scotus)（约 1266-1308 年）发起的坚定的联弹论反驳。在他对“天使是否可以以连续运动从一个地方移动到另一个地方”问题的分析中，他提供了一对纯粹的几何论证，反对由不可分组成的连续体。其中一个论点是，如果正方形的对角线和边都由点组成，那么这两者不仅违反欧几里得书 X 是可公度的，甚至是相等的。另一种是围绕一个共同的中心构造两个不等的圆，假设较大的圆由点组成，则证明一个角的一部分等于整体，违反了欧几里得公理V。

奥卡姆的威廉 (c. 1280–1349) 为他对连续性的分析带来了相当程度的辩证微妙[ 13 ]；它一直是许多学术争论的主题[ 14 ]。对奥卡姆来说，连续体带来的主要困难是空间的无限可分性，一般而言，任何连续体的可分性都是无限的。在他1322-7 年的 Quodlibet的第一本书中对连续性的处理基于这样一个想法，即在一条线上的任何两点之间都有第三个——也许是密度属性的第一个明确表述 ——以及连续统之间的区别 来自连续体的“其部分形成一个整体” 并列的事物。奥卡姆承认，根据密度的性质，在一条直线的任意小段上必定存在无限多个点，但反对直线或任何连续体由点组成的结论。相反，他关心的是确定“在何种意义上可以说这条线由任何东西组成或由任何东西组成。”，奥卡姆声称“这条线的任何部分都是不可分割的，连续统的任何部分也不是不可分割的。” 虽然奥卡姆并没有断言一条线实际上是由点“组成”的，但他有一种洞察力，在它的先见之明中令人吃惊，当将点状但连续的线看作是一个密集的点阵列而不是一个组合时，它成为一种可能性连续连续的点。

在14驳斥原子论的最雄心勃勃的和系统的尝试个世纪被安装在由托马斯·布拉德华（C 1290 - 1349）。他的Tractatus de Continuo（约 1330 年）的目的是“证明认为连续体由不可分构成的观点是错误的”。这是通过提出一些关于连续统的“第一原则”来实现的——类似于欧几里得元素的公理和假设—— 然后证明连续统由不可分组成的进一步假设会导致荒谬（见默多克1957]）。

Nicolaus Cusanus (1401–64) 的连续统的观点是相当有趣的，他是实际无限的拥护者。在他1450年的De Mente Idiotae中，他断言任何连续体，无论是几何的、感知的还是物理的，都可以在两种意义上进行划分，一种是理想的，另一种是实际的。理想除法“发展到无穷大”；实际的除法在有限多步后以原子终止。

库萨努斯关于实际无限的现实主义概念反映在他对圆的求积上（参见 Boyer [1959], p. 91）。他把圆当成一个无限边的正多边形，也就是一个边数无限（无限短）的正多边形。通过将其分成相应的无限数量的三角形，它的面积，对于任何正多边形，可以计算为国题（在这种情况下与圆的半径相同）和周长的乘积的一半。将曲线视为无限多边形的想法被许多后来的思想家采用，例如开普勒、伽利略和莱布尼茨。

近代早期，古代几何学知识在欧洲传播，尤其是阿基米德的几何学知识，以及亚里士多德对思想的控制松动。在考虑到连续的问题，焦点转向远离形而上学到技术，从问题“什么indivisibles人，或者 是否他们组成的大小”，以“新奇迹人能做到与他们一起”（见默多克 [1957]，第 325 页）通过新兴的微积分和数学分析。的确，追溯这一时期连续统概念的发展无异于描绘微积分的兴起。传统上，几何是涉及连续和算术（或代数）与离散的数学分支。微积分的是采取形式的16个和17个世纪，它有作为它的主要的主题 连续变化，可以看作是连续和离散的一种综合，无穷小弥合了两者之间的差距。当时的数学家在分析连续变化时广泛使用不可分和无穷小，这证明了一种数学原子论的肯定，这种数学原子论虽然在逻辑上有问题，但使与微积分相关的壮观的数学进步成为可能。因此，作为连续和离散之间的数学垫脚石的是无穷小，而不是无穷大。

约翰·开普勒（Johann Kepler，1571-1630）在他的计算中大量使用无穷小。在他1615年的Nova Stereometria中，实际上是为了帮助计算酒桶的体积而编写的工作，他将曲线视为无限多边形，将实体视为由无穷小的锥体或无穷小的圆盘组成（参见 Baron [1987] ，第 108-116 页；博耶 [1969]，第 106-110 页）。这种用法与开普勒习惯使用与它们构成的图形具有相同维数的无穷小是一致的。但他有时也使用不可分割的。例如，他说圆锥是由圆组成的，在他的新天文学中 在 1609 年的著作中，他阐述了他著名的行星运动定律，他将椭圆的面积作为从焦点得出的“半径之和”。

似乎是开普勒首先引入了数学对象（在这种情况下，是几何图形）的连续变化的思想，该思想后来成为几何学的主要原则。在他的天文图志收杆。光学的1604开普勒注意到，所有的圆锥截面彼此既通过焦点运动，并通过与切割平面的锥角的变化连续地衍生。

伽利略·伽利莱（Galileo Galilei，1564-1642）提倡一种数学原子论的形式，在这种形式中，德谟克利特原子论者和亚里士多德经院学者的影响都可以被辨别出来。当人们转向伽利略关于两种新科学的对话的第一天时，就会出现这种情况(1638)。伽利略的发言人萨尔维亚蒂坚持认为，与布拉德瓦丁和亚里士多德相反，连续的大小是由不可分割的，实际上是无限多的不可分割的。Salviati/Galileo 承认这种无限的不可分割永远不会通过连续细分产生，但声称有一种方法可以一次性产生它，从而将它从潜力领域移到实际实现：这种“分离和解决的方法” ，在一个单一的笔划中，整个无限”变成了将一条直线弯曲成一个圆圈的行为。伽利略在这里找到了将圆视为无限多边形的想法的巧妙“形而上学”应用。当直线被弯曲成一个圆时，伽利略似乎认为这条线因此被渲染成不可分割的部分，即点。但是，如果考虑到这些部分是无限多边形的边，则最好将它们表征为不可分割的点，而是不可弯曲的直线，每条直线都是圆的一部分并与圆相切[ 15 ]。伽利略没有提到这种可能性，但在这里发现将曲线视为无限小“不可弯曲”直线的组合的想法的萌芽似乎并不奇怪。[ 16 ]

伽利略的学生兼同事博纳文图拉·卡瓦列里 (Bonaventura Cavalieri，1598-1647) 将不可分的使用改进为一种可靠的数学工具（参见 Boyer [1959]）；事实上，直到今天，“不可分割的方法”仍然与他的名字联系在一起。卡瓦列里没有准确地解释他对“不可分”一词的理解，但很明显，他认为一个表面由许多等距平行线组成，而一个体积由等距平行平面组成，这些被称为不可分的分别是表面和体积。虽然卡瓦列里认识到这些不可分割的“大量”必须无限大，确实准备将它们视为实际上是无限的，但他通过抓住这一点来避免跟随伽利略陷入无限的圈套，没关系. 事实上，卡瓦列里方法的本质是在两个“相似”构型的不可分割部分之间建立对应关系，在卡瓦列里认为的情况下，很明显，这种对应关系是仅基于几何理由提出的，使其完全独立于数字。卡瓦列里原理的陈述体现了这个想法：如果平面图形包含在一对平行线之间，并且它们在平行于包含线的任何线上的截距成固定比例，则图形的面积在相同比率。（类似的原则适用于固体。）卡瓦列里的方法本质上是降维的方法：将固体减少到具有可比面积的平面，将平面减少到具有可比长度的线。虽然这种方法足以计算面积或体积，它不能用于校正曲线，因为在这种情况下减少的是点，并且两个点的“比率”没有任何意义。为了修正曲线，后来人们意识到，它被视为总和，不是不可分的，即点，而是无限小的直线，它的微段。

René Descartes (1596–1650) 在他的数学工作中采用了无穷小技术，包括卡瓦列里的不可分割方法。但是他在确定曲线的切线时避免使用无穷小，而是为此目的开发了纯粹的代数方法。他的一些最尖锐的批评是针对那些数学家的，例如费马，他们在构造切线时使用无穷小。

作为哲学家，笛卡尔可以被广泛地描述为通灵论者。他的哲学体系基于两个基本原则：著名的笛卡尔二元论——思想和物质之间的划分——以及不太熟悉的物质和空间扩展的认同。在《沉思录》中，笛卡尔区分了精神和物质，因为在空间上延伸的物质是可分的，而精神是不可分割的。物质和空间延展的识别具有物质连续和可无限分割的结果。由于广延是物质唯一的本质属性，相反，物质总是伴随着广延，所以物质必须无处不在。因此，笛卡尔的空间就像斯多葛学派一样，是一个充满连续介质的全会。

无穷小的概念是随着几何特征的问题而出现的，无穷小最初被认为只属于连续大小的领域，而不是离散数的领域。但是从代数和16的解析几何日和17日世纪时发出的概念无限小数目。这个想法首先出现在 Pierre de Fermat（见 Boyer [1959]）（1601-65）关于确定最大值和最小值（极值）的著作中，该著作发表于 1638 年。

Fermat 对极大值和极小值的处理包含了“无穷小变异”技术的萌芽，即通过对其变量进行微小变化来研究函数的行为。费马应用这种方法来确定曲线和重心的切线。

4. 17 和 18 世纪的连续统和无穷小

艾萨克·巴罗[ 17 ] (1630–77) 是最早掌握求积问题与求曲线切线问题之间的相互关系的数学家之一——用现代术语来说，就是积分和微分之间的关​系。在他的Lectiones Geometricae 1670，手推车观察到的，在本质上，如果一个曲线的正交Ý = ˚F（X）是已知的，与面积高达X由下式给出˚F（X），然后次切线到曲线ÿ = F ( x ) 是通过其纵坐标与原始曲线纵坐标的比值来衡量的。

彻头彻尾的通论者巴罗将分裂论和原子论之间的冲突视为一个活生生的问题，并提出了许多反对数学原子论的论点，其中最有力的论点是原子论与欧几里得几何的许多基本命题相矛盾。

巴罗认为连续的量级是由运动产生的，因此必然依赖于时间，这种观点似乎对他杰出的学生艾萨克·牛顿[ 18 ] （1642-1727）的思想产生了很大的影响。牛顿在 1665-66 年瘟疫期间的沉思，发明了他所谓的“流动微积分”，其原理和方法在撰写多年后发表在三份小册子中[ 19 ] : De analysi per aequations numero terminorum infinitas；Methodus fluxionum et serierum infinitarum; 和德quadratura curvarum. 牛顿对微积分的方法比巴罗的方法更牢固地建立在连续体由运动产生的概念上。

但是牛顿对运动学概念的利用比巴罗的要深入得多。例如，在De Analysi 中，牛顿为横坐标或曲线面积的“瞬时增量”（moment）引入了一种表示法（moment）——显然意在表示时刻或瞬间——横坐标或曲线面积，横坐标本身代表时间。这个“矩”——实际上与之前费马和巴罗引入的无穷小量相同——牛顿在横坐标的情况下用o表示， 在面积的情况下用ov表示。由于牛顿使用字母 v对于纵坐标，可以推断出牛顿认为曲线是速度与时间的关系图。牛顿通过将动线或纵坐标视为面积的矩，建立了微分和积分运算之间的一般性和相互关系，这是巴罗已经掌握但没有系统应用的事实。在牛顿之前，求积或积分最终取决于“将基本三角形或矩形加在一起的某个过程”，即不可分的方法。牛顿将积分明确处理为逆微分是积分学的关键。

在流动方法论中，牛顿明确了他关于运动产生的变量的概念，并介绍了他的特征符号。他呼吁通过一个运动的产生量流畅，而其产生的速度 流数。流x的通量由x表示 ·，以及它的时刻，或“在无限短的时间内累积的无限小增量o ”，由 x·哦。确定曲线切线的问题转化为求通量x之间关系的问题 ·和 z· 当呈现一个表示流水x和z之间关系的方程时。（正交是逆问题，即在给定通量时确定流体的问题。）因此，例如，在流体z = x n的情况下 ，牛顿首先形成 z· + z·o = ( x·+ x·o ) n，使用二项式定理扩展右侧，减去z = x n，除以o，忽略所有仍包含o 的项，因此获得 z· = nx n −1 x·.

牛顿后来对微积分中不可否认的无穷小存在不满，对“忽略”它们的可疑程序不满意。在Dequadratura curvarum的序言中， 他指出没有必要在通量方法中引入关于无穷小量的任何论证。取而代之的是，他建议使用他所谓的质数和终极比的方法。这种方法在很多方面都是对极限概念的预测，在牛顿著名的 1687 年自然数学原理中得到了许多典故。

牛顿为他的微积分开发了三种方法，他认为所有这些方法都会导致等效的结果，但它们的严谨程度各不相同。第一个使用无穷小的量，虽然不是有限的，但同时也不完全为零。牛顿发现这些没有精确的公式，而是专注于它们的比率，这通常是一个有限的数字。如果这个比率是已知的，形成它的无穷小量可以被具有相同比率的任何合适的有限量值（例如速度或通量）替换。这是fluxions的方法。认识到这种方法本身需要一个基础，牛顿以素数和极限比率学说的形式为它提供了一个基础，这是极限理论的一种运动学形式。

哲学家数学家 GWF Leibniz [ 20 ] (1646-1716) 非常专注于连续统的组成问题——他称之为“连续统的迷宫”。事实上，我们从他自己的证词中可以看出，他的哲学体系——一元论——源于他与如何或是否可以从不可分割的元素构建连续体的问题的斗争。莱布尼茨问自己：如果我们承认每个真实实体要么是简单的统一体，要么是多重性，并且多重性必然是统一体的集合，那么几何连续体（例如线）应归入什么类别？现在一条线被延长，而莱布尼茨认为延长是一种重复形式，因此，一条可分为多个部分的线不能是（真正的）统一体。那么它是一个多样性，因此是一个整体的集合。但是什么样的统一体呢？表面上，几何单位的唯一候选对象是点，但点只不过是扩展的端点，无论如何，正如莱布尼茨所知，可以追溯到亚里士多德的坚实论证表明，点不能构成连续统。因此，连续体既不是统一体，也不是统一体的集合。莱布尼茨得出结论，连续体是 根本不是真实的 实体；作为“整体在其部分之前”，它们具有纯粹的理想特征。通过这种方式，他将连续统从要求中解放出来，即作为可理解的东西，它本身必须是简单的或简单的复合体。

莱布尼茨认为空间和时间作为连续体是理想的，任何真实的事物，特别是物质，都是离散的，由他称为单子的简单单位物质复合而成。

莱布尼茨最著名的学说之一是 连续性原理或定律. 莱布尼茨的许多前辈，包括库萨努斯和开普勒，有时都采用了这一原则，但形式上有些模糊，但正是莱布尼茨赋予了这一原则“以前缺乏的清晰表述，也许正是由于这个原因作为他自己的发现”（Boyer 1959，第 217 页）。在 1687 年给贝勒的一封信中，莱布尼茨对该原则提出了以下表述：“在任何假定的过渡中，以任何终点结束，都可以建立一个一般推理，其中可能包括最终终点。” 这似乎表明莱布尼茨认为任何类型的“过渡”都是连续的。当然，他认为这是几何学和自然过程的情况，在那里它表现为原则Natura non facit saltus. 根据莱布尼茨的说法，正是连续性定律使得几何学和无穷小微积分的演化方法能够应用于物理学。连续性原则也为莱布尼茨拒绝物质原子论提供了主要依据。

连续性原理在莱布尼茨的数学工作中也发挥了重要的潜在作用，尤其是在他对无穷小微积分的发展中。莱布尼茨1684 年的论文Nova Methodus和1686年的De Geometri Recondita可以说分别代表了微分和积分的正式诞生。他对微积分的方法，其中无穷小的使用起着核心作用，具有组合根源，可追溯到他早期关于导出数列的工作。给定一条由相关变量x , y确定的曲线，他将dx和dy写 为值之间的无穷小差异或微分x和y：和dy / dx表示两者的比率，然后他将其用于表示相应点处曲线的斜率。这种暗示性的，如果高度正式的程序导致莱布尼茨发展微分计算规则，这是通过适当修改普通数的计算规则来实现的。

尽管无穷小的使用有助于莱布尼茨的微积分方法，但他在 1684 年引入微分的概念而没有提及无穷小的量，这几乎可以肯定是为了避免基本困难。

对莱布尼茨来说，无穷小的无比渺小源于它们未能满足阿基米德原理；并且仅相差无穷小的数量被认为是相等的。但是，尽管莱布尼茨认为无穷小比普通数小得多，但连续定律确保它们受与后者相同的定律支配。

莱布尼茨对无穷小和微分的态度似乎是它们提供了形成连续的形式语法、代数的元素。由于他将连续体视为纯粹的理想实体，因此他完全一致地坚持，正如他所做的那样，无穷小量本身同样是理想的——只是有用的虚构，引入以缩短论证和帮助洞察力。

尽管莱布尼茨本人并不认为无穷小或（数学）无穷是客观存在的，但他的一些追随者却毫不犹豫地这样做了。其中最著名的是约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748 年）。他在 1698 年写给莱布尼茨的一封信中包含了直截了当的断言：“由于自然界中的项数是无限的，因此无穷小实际上是存在的 。” 他关于实际无穷小存在的论据之一始于无限序列 1/2、1/3、1/4……的假设。如果有十项，则存在十分之一；如果一百，则存在百分之一，依此类推；因此，如果如假设的那样，项的数量是无限的，那么无穷小的存在。

莱布尼茨的微积分在 1696 年由 Guillaume de L'Hôpital（1661-1704 年）出版的第一本关于该主题的说明性著作《Analyze des Infiniments Petits Pour L'Intelligence des Lignes Courbes》获得了广泛的读者。这基于两个定义：

变量是不断增加或减少的量；常数或固定量是那些持续相同而其他变化的量。一个变量不断增加或减少的无穷小部分称为该量的微分。

和两个假设：

承认差是无穷小的量的两个量可以对彼此无差别地采取（或使用）：或者（什么是同一件事）一个量，只增加或减少了一个无限小的量，可以被视为保持不变。承认一条曲线可以被认为是无限多条无限小的直线的组合：或者（什么是同一件事）作为一个有无限多条边的多边形，每条边的长度都无限小，这决定了曲率通过它们彼此形成的角度来划分线。

继莱布尼茨之后，L'Hôpital 将变量x的微分写成dx。这些定义和假设的典型应用是确定乘积xy的微分：

d ( xy ) = ( x + dx )( y + dy ) − xy = y dx + x dy + dx dy = y dx + x dy。

这里最后一步由假设 I 证明，因为dx dy与y dx + x dy相比无限小。

莱布尼茨的微分学建立在有些不安全的基础上，很快就招致了批评。由荷兰医生 Bernard Nieuwentijdt 发起的攻击[ 21 ]（1654-1718）在 1694-6 年的作品中特别有趣，因为 Nieuwentijdt 提供了他自己的无穷小记述，这与莱布尼茨的记述相冲突，并具有自己的显着特征。Nieuwentijdt 假设了一个数量或数字的域，受制于或多或少的排序关系。这个域包括普通的有限量，但也假定它包含无穷小和无穷大的量——当一个量比任意给定的有限量小或大时，它就是无穷小或无穷大。整个域由阿基米德原理的一个版本控制，即零是唯一不能乘以足够多次以等于任何给定量的量。无穷小的量可以表征为商b/m有限量b由无限量m。与莱布尼茨的微分相反，Nieuwentijdt 的无穷小具有任意一对的乘积为零的性质；特别是每个无穷小都是“nilsquare”，因为它的平方和所有更高的幂都为零。这一事实使 Nieuwentijdt 能够证明，对于代数方程给出的任何曲线，由无穷小的横坐标增量e生成的微分三角形的斜边与x和x + e之间的曲线段重合。也就是说，曲线确实是一个无限边多边形。

下表总结了 Nieuwentijdt 和 Leibniz 的无穷小演算之间的主要区别：

莱布尼茨新文泰无穷小是变量无穷小是常数存在高阶无穷小高阶无穷小不存在无穷小的乘积不是绝对零无穷小的乘积是绝对零无穷小当相对于其他量无限小时可以忽略（一阶）无穷小永远不能被忽略

在回应 Nieuwentijdt 关于无穷小的平方和更高次幂消失的断言时，莱布尼茨反对说，假设线段dx不为零，同时边dx的正方形面积等于零是相当奇怪的（曼科苏 1996, 161)。然而，这种奇怪的现象可能被视为莱布尼茨本人的一个关键原则的结果——莱布尼茨本人显然没有注意到——即曲线可以被视为无限多边形。例如，考虑曲线y = x 2。鉴于曲线是一个无限边多边形，横坐标 0 和dx之间曲线的无穷小直线段必须与曲线的切线重合在原点——在这种情况下，横坐标轴——在这两个点之间。但是点 ( dx , dx 2 ) 必须位于横坐标轴上，这意味着dx 2 = 0。

现在莱布尼茨可以反驳说，这个论点主要取决于横坐标 0 和dx之间的曲线部分确实是直线的假设。如果这一点被否定，那么它当然不遵循dx 2 = 0。但是如果像莱布尼茨那样承认曲线的无限小直线段（边，即与与曲线）在横坐标 0 和e之间，比如说，它不会减少到一个点，那么e不能等于 0，但上述论点表明e 2= 0。因此，如果曲线是无穷边多边形，则这些边的“长度”必须是 nilsquare 无穷小。因此，为了完全公正地对待莱布尼茨（以及 Nieuwentijdt）的概念，有两个需要各种无穷小：首先，“微分”服从莱布尼茨规定的=——与有限量相同的代数定律；其次是（必须更小） nilsquare 无穷小，它测量无穷边多边形的边长。可以说，莱布尼茨认识到需要第一种而非第二种无穷小和 Nieuwentijdt，反之亦然。值得注意的是，莱布尼茨无穷小（微分）在非标准分析中实现，而 nilsquare 无穷小在平滑无穷小分析中实现（两种类型的分析见下文）。事实上，已经证明可以将两种方法结合起来，从而创建一个分析框架，实现莱布尼茨和 Nieuwentijdt 的无穷小概念。

该无穷小恰恰服从相同的代数规则有限数量被迫莱布尼茨和他的微分的维护者成治疗无穷小，在有限数量的情况下，坚持仿佛他们是零，使得，例如，X + DX进行处理就好像它和 x 一样。这是有道理的，因为差异应被视为可变的，而不是固定的数量，不断减少直到达到零。仅在“消失的时刻”考虑，因此它们既不是某物也不是绝对零。

因此，微分（或无穷小）dx被不同地归因于以下四个属性：

DX ≈0既不 dx = 0也不 dx ≠ 0dx 2 = 0dx → 0

其中“≈”代表“无法区分”，“→ 0”代表“变得越来越小”。这些属性只有最后，其中差分被认为是可变的量趋向于0，幸存的19个世纪在极限概念方面的演算refounding [ 22 ]。

微积分的领先从业者，确实18的前端数学家个世纪，是欧拉[ 23 ] （1707年至1783年）。从哲学上讲，欧拉是一位彻头彻尾的通灵论者。拒绝莱布尼茨的一元论，他赞成笛卡尔学说，即宇宙充满了连续的空灵流体，并支持光的波动理论，而不是牛顿提出的微粒理论。

欧拉拒绝将无穷小的概念视为小于任何可分配幅度但不等于 0 的量，认为：微分必须为零，而dy / dx 商为 0/0。由于对于任何数字 α，α · 0 = 0，欧拉坚持认为商 0/0 可以表示任何数字[ 24 ]。对于 Euler qua形式主义者来说，微积分本质上是确定表达式 0/0 在它作为渐逝增量的比率出现的多种情况下的值的过程。

但是在对自然现象的数学分析中，欧拉和他同时代的一些人确实使用了微小形式的无穷小，但或多或​​少是连续体的具体“元素”，而不是将它们视为原子或单子严格意义上——作为连续体的一部分，它们必须是可分的——但作为足够的微小，可以在无穷小的流动下保持它们的直线形状，同时允许它们的体积发生无穷小的变化。这个想法成为连续介质力学的基础。

虽然欧拉将无穷小视为形式零，即作为固定量，但他同时代的让·勒朗德·达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert，1717-83 年）对此事持不同看法。在牛顿的带领下，他根据极限概念构想了无穷小或微分，他通过断言一个变化的数量是另一个的极限，如果第二个可以比任何给定的数量更接近另一个，那么他将其表述为无穷小或微分。D'Alembert 坚决拒绝将无穷小作为固定量的想法，并将极限的想法视为微积分的方法论根源。对于 d'Alembert 而言，无穷小或微分的语言只是一种方便的速记，用于避免使用极限概念所需的繁琐表达。

无穷小，差，渐逝数量和想通过演算的整个18静脉追猎个世纪。尽管含糊不清——甚至在逻辑上令人怀疑——但这些概念提供了推导微积分已成为可能的大量结果的工具。同时，与欧拉显着的例外，许多18级世纪的数学家与无穷是拘束，他们不会冒险杀鹅产蛋如此丰富的金蛋数学的。因此，他们基本上避免了对微积分基础思想的破坏性批评。然而，哲学家并没有受到这些限制的束缚。

哲学家乔治·伯克利（George Berkeley，1685-1753 年）以其主观唯心主义的esse est percipi学说和他对一般观念的否定而著称，他是他那个时代数学实践背后的预设的持续批评者（见 Jesseph [1993]）。他最著名的抨击是针对微积分的，但实际上他与数学家的冲突更深了。因为他否认任何类型的抽象思想的存在，这与当时大多数数学家和哲学家所持有的对数学概念的抽象主义解释是直接对立的。这一学说的中心原则可以追溯到亚里士多德，即头脑通过抽象创造数学概念，也就是说，通过对感知对象的无关特征的心理抑制，以便将注意力集中在被挑出来引起注意的属性上。伯克利拒绝了这一点，声称数学作为一门科学最终与感觉对象有关，其公认的普遍性源于知觉作为所有相似形式知觉的符号的能力。

起初，伯克利对那些坚持无穷小概念的人嗤之以鼻。坚持认为使用无穷小来推导数学结果是虚幻的，实际上是可以消除的。但后来他对无穷小采取了更宽容的态度，将它们视为有用的小说，就像莱布尼茨一样。

在1734年的《分析师》中，伯克利发起了他对无穷小和整个微积分形而上学的最持久和最复杂的批判。解决要一个异教徒的数学家[ 25 ]中，道与卫冕神学对许多数学家和当天的科学家共享的怀疑所宣称的目的编写的。伯克利对宗教的辩护相当于声称数学家在微积分方面的推理与神学家在神圣奥秘方面的推理一样有缺陷。

伯克利的论点主要是针对牛顿流微积分的。他的典型反对意见是，为了试图通过使用诸如渐逝量和素数和极限比率之类的设备来避免无穷小，牛顿实际上违反了非矛盾定律，首先将一个量置于增量然后将增量设置为 0，也就是说，否认曾经存在过增量。至于通量和渐逝增量本身，伯克利有这样的说法：

这些通量是什么？渐逝增量的速度？这些相同的渐逝增量是什么？它们既不是有限量，也不是无限小的量，也不是什么都没有。难道我们不能称他们为已逝数量的幽灵吗？

莱布尼茨的微分方法也没有摆脱伯克利的限制。

连续性与离散性之间的对立在伊曼纽尔·康德（Immanuel Kant）（1724-1804）的哲学思想中扮演着重要的角色。他成熟的哲学，超验的理想主义，基于将现实分为两个领域。第一个，现象领域，由可能经验的现象或对象组成，由感性的形式和认知范畴构成。第二个，本体领域，由“任何经验对象都无法与之对应的理解实体”组成，即自在之物。

就量级而言，现象在时空上是延伸和连续的，即是无限地，或至少是无限地可分的。空间和时间构成了现象的潜在秩序，因此最终是现象本身，因此也是连续的。

作为知识的对象，现象是连续的 广泛量级，但作为感觉或知觉的对象，根据康德，它们是强度量级。康德的强量级意味着具有度数并因此能够被感官理解的量级 ：例如亮度或温度。密集的量级完全不受空间或时间的直觉影响，并且“只能以统一形式呈现”。但是，就像广泛的量级一样，它们是连续的。此外，现象总是作为强烈的量级呈现给感官。

在《纯粹理性批判》（1781 年）中，康德对连续性和离散性之间的对立的分析带来了一种新的微妙（而且，必须说，曲折）。这可以从该著作中著名的二律背反的第二个中看出，它涉及物质的分体组成或扩展物质的问题。它是 ( a ) 离散的，即由简单或不可分割的部分组成，还是 ( b ) 连续的，即包含无限多个部分内的部分？虽然（一），康德调用论文和（b）的对立面 似乎彼此矛盾，康德提供了这两个断言的证明。他断言，由此产生的矛盾可以解决，他断言，虽然二律背反“与表象的划分有关”，但 ( a ) 和 ( b )的论证隐含地将物质或实体视为自在之物。康德得出结论，正题和反题都“预设了一个不可接受的条件”，因此“都落到了地面上，因为在这种情况下，它们中的任何一个都可以单独维持，它本身就落下了。”

康德将不可容许的条件认定为将物质隐含地视为自在之物，这反过来又导致了将物质分割为独立于分割行为而存在的错误。在那种情况下，Thesis 暗示除法序列是有限的；反题，它是无限的。对于因将物质或实体视为自在之物而产生的完整（或至少是可完成的）划分序列，这些不能同时成立。[ 26 ] 现在既然这两个断言的真实性都被证明是从那个假设推导出来的， 它必为假，即物质和延展实体只是表象。而对于表象，康德坚持认为，分割成部分在经验上是不完整的，因此这种分割可以被认为是一个惊人的短语，“既不是有限也不是无限”。因此，对于表象，正题和反题都是假的。

后来在《批判》中，康德扩大了可分性问题，断言，虽然由直观整体的一系列划分所产生的每个部分都被赋予了整体，但该序列的不完备性阻止了它形成一个整体； 更不用说这样的序列实际上是无限的。

5. 19 世纪的连续统和无穷小

数学分析在18发展迅速个世纪并没有掩盖一个事实，即它的基本概念，不仅自身缺乏严格的定义，但甚至（例如，在差速器和无穷小的情况下）可疑逻辑字符。连续函数的概念缺乏精确性——仍被模糊地理解为可以用公式表示并且其相关曲线可以平滑绘制的函数——导致人们怀疑该概念在其中体现的许多程序的有效性。例如，通常假设每个连续函数都可以通过泰勒定理表示为无限级数。早在19个 世纪这个假设和其他假设开始受到质疑，从而开始探究一般函数和特定连续函数的含义。

波西米亚牧师、哲学家和数学家伯纳德·博尔扎诺 (Bernard Bolzano，1781-1848) 是阐明连续函数概念的先驱。在他1817年的Rein analytischer Beweis 中，他定义了一个（实值）函数f在点x是连续的，前提是一旦我们被允许，f ( x + ω) − f ( x )的差值可以小于任何预选的量采取w尽可能小。这与稍后柯西根据极限概念给出的连续性定义基本相同。Bolzano 还制定了一个没有无穷小概念的函数导数的定义（见 Bolzano [1950]）。Bolzano 否定了欧拉在dy / dx等表达式中将微分视为形式零的做法，而是建议在确定函数的导数时，最终设置增量 Δ x、Δ y ……到零。因为博尔扎诺微分具有“理想元素”的地位，纯粹的形式实体，如射影几何中无穷远处的点和线，或（如博尔扎诺自己提到的）虚数，它们的使用永远不会导致关于“实”量的错误断言。

尽管博尔扎诺预见到微积分概念的严格表述会采用的形式，但他的工作在他的一生中很大程度上被忽视了。伟大的法国数学家奥古斯丁-路易斯·柯西 (Augustin-Louis Cauchy，1789-1857 年) 的思想——本质上类似于博尔扎诺的思想——为微积分的严格发展奠定了基石。在柯西的作品中，就像在博尔扎诺的作品中一样，核心作用是由一个纯粹的算术极限概念发挥的，它摆脱了所有几何和时间的直觉。柯西还制订为实数的序列收敛到极限的状态下，并指出他熟悉的用于收敛标准[ 27 ] ，即，一个序列<小号Ñ >是收敛的，当且仅当小号Ñ +r − s n 的绝对值可以小于所有r和足够大的 n 的任何预先分配的数量。柯西证明这对于收敛是必要的，但至于条件的充分性仅仅说明“当满足各种条件时，级数的收敛是有保证的”。在作出后一种断言时，他暗中求助于几何直觉，因为他没有试图定义实数，只观察到无理数应被视为有理数序列的极限。

柯西选择用严格的无穷小概念来描述函数的连续性，他在分析中将其定义为“一个变量 [其值] 以收敛到极限 0 的方式无限减少。” 这是他对连续性的定义。柯西对值a附近f ( x )连续性的定义 相当于条件，在现代符号中， lim x → a f ( x ) = f ( a )。柯西定义了函数f ( x )的导数f ′( x )) 的方式与 Bolzano 的方式基本相同。

柯西（以及博尔扎诺）的工作代表了数学家放弃（在 d'Alembert 的工作中有所暗示）（固定的）无穷小和连续性和运动的直觉观念的关键阶段。当时的某些数学家，例如 Poisson 和 Cournot，他们认为极限概念只不过是使用无穷小的量级的迂回替代品——无论如何（他们声称）这是真实存在的——认为柯西的改革已经被抬得太远了。但事实上，传统观念的痕迹仍然存在于柯西的表述中，正如他使用“可变数量”、“无穷小数量”、“无限接近”、“随心所欲”等表达方式所证明的[ 28] ]。

与此同时，德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-97 年）正在从分析的基础上完成对时空直觉和无穷小的驱逐。为了灌输完整的逻辑严谨性，魏尔斯特拉斯提出建立仅基于数的数学分析，以“算术化” [ 29 ] 它——实际上，用离散代替连续。“算术化”可以看作是数学原子论的一种形式。为了实现这个目标，魏尔斯特拉斯首先制定了严格的实数“算术”定义。为此，他将一个（正）实数定义为一组可数的正有理数，其中任何有限子集的总和始终低于某个预先指定的界限，然后指定两个这样的“实数”在什么条件下被视为相等，或严格小于彼此。

Weierstrass 致力于清除对连续运动直觉的所有痕迹的分析基础——一句话，用静态代替变量。为维尔斯特拉斯变量 X只是一个符号指定给定的组号码的任意构件，和一个连续的变量指其相应组小号具有围绕任何成员的任何间隔的属性 X的小号包含的成员小号比其他 X。Weierstrass 还制定了熟悉的 (ε, δ) 连续函数定义[ 30 ] ：函数 f ( x ) 在a处连续如果对于任何 ε > 0 存在 δ > 0 使得 | f ( x ) − f ( a )| < ε 对于所有x使得 | x - a | <δ。[ 31 ]

在 Weierstrass 的努力之后，Richard Dedekind（1831-1916）对制定连续性和实数的严格定义的问题进行了另一次攻击。Dedekind 将注意力集中在一个问题上：究竟是什么将连续域与不连续域区分开来？他似乎是第一个认识到有序有理数集所具有的密度属性不足以保证连续性的人。在连续性和无理数(1872) 他评论说，当有理数与直线上的点相关联时，“[在线] 上有无穷多点没有有理数与之对应”，因此有理数表现出“间隙、不完整性、不连续性”。 ”，与直线的“无间隙、完整性、连续性”形成对比。戴德金认为这个原则本质上是无法证明的。相反，他赋予它一种公理的地位，“我们通过它赋予这条线它的连续性，通过它我们认为这条线的连续性”。Dedekind 强调， 在这个意义上，空间不一定是连续的，因为“即使它是不连续的，它的许多特性也将保持不变。”

通过“创造新的点个体”来填补有理数的空白是戴德金构建实数域的关键思想。他首先将割定义为有理数的划分 ( A 1 , A 2 )，使得A 1 的每个成员都小于A 2 的每个成员。在注意到每个有理数以明显的方式对应于一个切割之后，他观察到无限多个切割不能由有理数产生。有理数域的不连续性或不完整性恰恰在于后一个事实。

需要注意的是，戴德金并没有用切割来识别无理数；相反，每个无理数都是由心理行为新“创造”出来的，并且与其相关的切分仍然截然不同。Dedekind 继续说明如何切割域以及相关的实数域可以以具有连续性属性的方式排序，即。“如果所有实数除法的系统ℜ分为两类

1，

2，使得每个数字一个1类的

1小于每数一个2类的

2，则存在一个且仅一个数由该分离被生产。”

最有远见的“算术师”是 Georg Cantor [ 32 ] （1845-1918）。康托根据无限点集对连续统的分析导致了他的超限数理论，并最终将集合的概念从作为点集合的几何起源中解放出来，从而为一般概念的出现铺平了道路抽象集是当今数学的核心。与魏尔斯特拉斯和戴德金一样，康托尔旨在为实数制定一个适当的定义，避免它们先前存在的预设，并遵循它们将定义建立在有理数的基础上。跟随柯西，他称序列为a 1 , a 2 ,..., a n,... of有理数是一个基本序列，如果存在一个整数N使得对于任何正有理数 ε，存在一个整数N使得 | a n+m − a n | < ε 对于所有m和所有n > N。任何满足这个条件的序列 < a n > 都被称为有一个确定的极限 b。Dedekind 将无理数视为与切割相关的“心理对象”，因此，类似地，康托尔将这些确定的限制视为 与基本序列相关的形式符号。域B这些符号的数量可以被认为是有理数域A的扩大。在域B上强加算术结构后，康托尔大胆地将其元素称为（实数）数。尽管如此，他仍然坚持认为这些“数字”除了作为基本序列的代表之外不存在。Cantor 然后表明线上的每个点都对应于B 的一个确定元素。相反，B 的每个元素都应该确定线上的一个确定点。意识到线性连续统的直觉性质排除了对该性质的严格证明，康托尔简单地将其假设为公理，就像戴德金在他的连续性原理方面所做的那样。

对于开始作为数论家并在他的整个职业生涯中坚持离散的康托尔来说，具有客观意义的是数字，而不是几何点。事实上，离散数值域B和线性连续体之间的同构本质上被康托视为一种促进数字操作的装置。

康托尔对连续统的算术化产生了以下重要后果。人们早就认识到，任何一对线段的点集，即使其中一个是无限长的，也可以一一对应。这个事实被用来表明这样的点集没有明确定义的“大小”。但是康托尔对具有数域的线性连续体上的点集的识别使得能够以确定的方式比较点集的大小，使用数集之间一一对应的有根据的想法。

康托尔对线性连续体的子集性质的研究在 1879-84 年期间发表的六篇杰出论文中提出，即Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten（“关于无限的线性点流形”）。这些论文以其思想的丰富性而著称，首次说明了康托尔的无限集革命性理论及其在线性连续体的子集分类中的应用。在这些论文的第五篇，即1883 年的Grundlagen [ 33 ] 中，可以找到康托尔对连续统性质的一些最深入的观察。

康托尔以对传统上围绕该概念的争议的尖刻总结开始他对连续统的研究，并指出连续统直到最近才被视为一个本质上无法分析的概念。康托尔关心的是“尽可能清醒和简要地发展连续统的概念，并且仅针对集合的数学理论”。他相信，这为形成连续统的精确概念开辟了道路。康托尔指出，迄今为止，连续统的概念只是被关注连续函数等分析的数学家预设，并“没有经过任何更彻底的检验”。

康托尔否认在精确确定连续统时使用任何空间或时间直觉，而是采用其精确的算术定义。

在评论他之前已经证明所有空间 G n与区间 (0,1) 中的实数集具有相同的幂之后，并重申他的信念，即任何无限点集都具有自然数集的幂或 (0,1) 的，[ 34 ] 康托尔转向G n内的连续统的一般概念的定义 。. 为此，他采用了1872 年关于三角级数的论文中引入的点集的导数或导数集的概念 。坎托已定义的衍生组的点组P是集的极限点的P，其中的一个极限点P是点P与无限多点P任意接近它。如果点集与其派生集重合，则称为完美点集[ 35 ]。康托尔观察到这种条件不足以表征一个连续体，因为可以在线性连续体中构造完美集，它们在任何区间都是密集的，无论多么小：作为这种集合的一个例子，他提供了 由所有的集合组成的集合[ 36 ] (0,1) 中的实数，其三元展开式不包含“1”。

因此，需要附加条件来定义连续体。Cantor 通过引入连通集的概念来提供这一点 。点集Ť连接在Cantor公司意义，如果对于任何对其分吨， 吨'和任何任意小的数量ε存在点的有限序列吨1， 吨2，...，吨Ñ的Ť 的量，距离[ t t 1 ], [ t 1 t 2 ], [ t 2 t 3 ], ..., [ t n t ′]，均小于ε。Cantor 现在将连续统定义为完美连接点集。

康托尔在制定本质上是连续统的拓扑定义方面已经超越了他的前辈，该定义虽然仍然依赖于度量概念，但不涉及阶关系[ 37 ]。将康托尔的定义与现代一般拓扑中连续统的定义进行比较是很有趣的。在一本关于这个主题的著名教科书（参见 Hocking 和 Young [1961]）中，我们发现一个连续统被定义为拓扑空间的一个紧密连接的子集。现在在任何有界欧几里得空间的区域，可以证明康托的连续体与现代定义意义上的连续体重合。虽然康托尔缺乏紧致性的定义，但他要求连续音是“完整的”（这导致他拒绝将非紧致集作为连续音，如开音程或圆盘）与这个想法相去不远。

在康托尔的整个数学生涯中，他对无穷小保持着坚定不移的、甚至是教条式的反对，抨击杜布瓦-雷蒙德和委罗内塞等数学家的努力[ 38 ] 制定严格的实际无穷小理论。对康托尔而言，无穷小超出了可能的范围；无穷小只不过是“空中楼阁，或者说是无稽之谈”，被归类为“圆形方块和方形圆圈”。他对无穷小的憎恶如此深沉，以至于他彻底受到诽谤，称它们为“数学中的霍乱杆菌”。康托尔拒绝无穷小源于他的信念，即他自己的超限序数和基数理论耗尽了可数的领域，因此数概念的进一步概括，尤其是包含无穷小的任何概念，都是不允许的。

6. 对算术化的批判性反应

尽管维尔斯特拉斯，戴德和康托尔在构建从算术材料连续，一些晚19思想家的巨大成功日和20个月初日 世纪以来始终反对，在不同程度上，完全离散显性化连续概念的想法条款。其中包括哲学家布伦塔诺和皮尔斯以及数学家庞加莱、布劳威尔和外尔。

在晚年，奥地利哲学家弗兰茨·布伦塔诺（Franz Brentano，1838-1917）开始专注于连续的本质（见布伦塔诺 [1988]）。在其基本原理中，布伦塔诺对连续的描述类似于亚里士多德的。布伦塔诺认为连续性是感知中给出的东西，本质上是原始的，而不是数学结构。他认为连续的概念是从可感直觉中抽象出来的。布伦塔诺认为连续是通过三个阶段的合理直觉出现的。首先，感觉向我们展示了具有重合部分的对象。从这些对象中依次抽象出边界的概念，然后就可以了解到这些对象实际上 包含重合边界。最后，人们看到这就是掌握连续统概念所需要的全部内容。

对布伦塔诺来说，连续统的基本特征是它产生边界的内在能力，以及这些边界可以被理解为重合的事实。边界本身具有布伦塔诺称之为“ plerosis”的品质（“丰满”）。Plerosis 是给定边界实际边界的方向数量的度量。因此，例如，在时间连续集中，过去情节的终点或未来情节的起点在单一方向上有界，而标志着一个情节结束和另一个情节开始的点可以说是双重界限。在空间连续体的情况下，还有许多额外的可能性：这里的边界可能在它能够边界的所有方向上都有边界，或者它可能只在这些方向中的一些方向上有边界。在前一种情况下，边界被称为完全 pleosis；在后者，在部分增生. 布伦塔诺认为，“硬化”的概念使人们能够理解边界具有“部分”的概念，即使边界完全没有维度，例如点的情况。因此，在布伦塔诺看来，现在或“现在”在时间上是未扩展的，仅作为过去和未来之间的边界存在，但它仍然具有两个“部分”或方面：既是过去的结束，也是未来的开始。未来。值得一提的是，对于布伦塔诺来说，不仅仅是“现在”作为边界存在；因为，像亚里士多德一样，他认为严格意义上的“存在”意味着“现在的存在 ”，因此必然得出，存在的事物仅作为已经存在或将存在的事物或两者的边界而存在。

布伦塔诺对数学家从数字构建连续统的努力持一种有点模糊的看法。他的态度不一而足，从拒绝这样的尝试到将它们归类为“小说” [ 39 ]。鉴于他的亚里士多德倾向于将数学和物理理论视为对经验现象的真实描述而不是理想化，这并不奇怪：在他看来，如果将这些理论视为对经验的字面描述，它们无异于“失实陈述”。

布伦塔诺 (Brentano) 对连续统的分析集中在其现象学和定性方面，这些方面就其本质而言无法还原为离散的。因此，布伦塔诺拒绝数学家用离散术语构建它的尝试也就不足为奇了。

美国哲学家兼数学家查尔斯·桑德斯·皮尔斯 (Charles Sanders Peirce) (1839-1914) 的连续统观点[ 40 ] 在某种意义上介于 Brentano 和算术师的观点之间。像布伦塔诺一样，他认为连续统的内聚性排除了它仅仅是通常意义上的离散个体或点的集合的可能性。甚至在 Brouwer 之前，Peirce 似乎已经意识到，对连续统的忠实描述将涉及质疑排中律。Peirce 还认为，任何连续统都包含无限大的点集合——用他丰富多彩的术语来说，一个 超多的集合——我们今天称之为 适当的类. Peirce 坚持认为，如果通过在旧点之间插入新点到其最终极限来将“足够”的点挤在一起，那么它们将——通过 逻辑“从数量到质量的转化”——失去它们的个体身份并融合成一个真正的连续体.

Peirce 的连续数概念也因其存在大量无穷小而著称，Peirce 支持在微积分的基础中保留无穷小概念，这既是因为他认为无穷小方法的效率，也因为他将无穷小视为构成“胶水”，导致连续线上的点失去各自的身份。

连续性的思想在伟大的法国数学家亨利·庞加莱[ 41 ] (1854-1912)的思想中发挥了核心作用。在接受连续统的算术定义的同时，他质疑这样一个事实，即（与戴德金和康托的公式一样）如此产生的（无理）数仅仅是符号，与它们的直觉起源分离。与康托尔不同，庞加莱接受无穷小，即使他不认为所有概念的表现都是有用的。

荷兰数学家 LEJ Brouwer（1881-1966）以（新）直觉主义哲学的创始人而闻名 （见 Brouwer [1975]；van Dalen [1998]）。布劳威尔对数学的高度理想主义观点与康德的观点有些相似。对于 Brouwer 来说，数学概念只有在它们充分地建立在直觉的基础上才能被接受，数学理论只有当它们涉及由直觉中立即给出的事物构成的实体时才有意义，而数学证明是直觉中构造的一种形式。布劳威尔承认非核几何的出现使康德的空间观不可信，但与逻辑学家（他称之为“形式主义者”）相反，他认为算术以及所有数学都必须来自时间直觉。

最初布劳威尔毫无保留地认为连续统不能从离散点构建，但后来修改了这一学说。在他成熟的思想中，他彻底改变了点的概念，赋予点足够的流动性，使它们成为“真正”连续体的发生器。这种流动性是通过将完全定义的离散数（例如 √2、π、e等）作为“点”来实现的——可以说，它们已经实现了“存在”——而且还有“数”，它们是在永久状态中，十进制（或二元）扩展中的条目是主体在无限延长的时间内运行的自由选择行为的结果。产生的选择序列不能被认为是完成的、完成的对象：在任何时候，只有一个初始部分是已知的。通过这种方式，布劳威尔以一种与他对时间的原始直觉的信念相一致的方式获得了数学连续统——也就是说，作为一个未完成的、实际上无法完成的实体，处于永恒的增长状态，一种“自由发展的媒介”。在这个概念中，数学连续统确实是“构建”出来的，但不是像康托尔和戴德金那样最初将直观的连续统破碎成孤立的点，而是将其从一个不断变化的重叠部分的复合体中组装起来。

Brouwer 构想的数学连续统显示了许多在经典眼中看起来很奇怪的特征。例如，在连续布劳威尔格可比性的通常法，即，对于任何实数一，b或者一个< b或一个= b或一个> b，失败。更根本的是排中律在形式上的失败，即对于任何实数a , b，要么a = b要么a ≠ b. 这些看似不容置疑的原理的失败反过来又破坏了经典分析的许多基本结果的证明，例如 Bolzano-Weierstrass 定理，以及单调收敛、中间值、最小上界和最大值的定理连续函数[ 42 ]。

虽然从经典数学家的角度来看，布劳威尔连续统可能具有许多负面特征，但它的优点是比其经典对应物更接近于直觉的连续统。并不奇怪，直觉连续统中的排中律的失败可以被视为与直觉连续统的特征非常吻合。

1924 年 Brouwer 证明了在他的连续统的闭区间上定义的每个函数都是一致连续的。因此，直觉连续统是不可分解的，也就是说，无论如何都不能分成两个不相交的部分。与离散实体相反，不可分解的 Brouwerian 连续统不能由其部分组成。近年来，布劳威尔关于连续统的观点已成为深入数学研究的主题。

魏尔（1885-1955），最多才多艺的一个20的数学家个世纪，是用连续的自然心事重重（见贝尔[2000]）。在他的Das Kontinuum1918 年，他试图为连续统提供一个精确的数学公式，而没有他认为令人反感的集合论假设。在他看来，一方面直观地给出连续体（例如空间、时间和运动的连续体）与另一方面离散的精确数学概念（例如实数的概念）之间存在不可逾越的鸿沟。对于外尔来说，这种分裂的存在意味着数学连续统的构建不能简单地从直觉中“读出”。相反，他认为必须以与物理理论相同的方式处理数学连续统，并最终证明其合理性。无论他多么希望，在Das Kontinuum外尔并不打算提供连续统的数学公式，因为它呈现给直觉，正如上面的引文所示，他认为这是不可能的（至少在当时是这样）。相反，他的目标是首先通过将 实数的算术概念置于牢固的逻辑基础上来实现一致性，然后通过将其用作对客观物理中连续过程的合理解释的基础来证明所产生的理论是合理的。世界。

后来外尔开始否定连续统的原子论，包括他自己的 Das Kontinuum 的原子论。因此，他欢迎布劳威尔通过自由选择行为产生的序列构建连续统，从而将其定义为“自由生成的媒介”，“不会分解为作为完成实体的一组实数”。Weyl 认为 Brouwer 通过他的直觉主义学说，比任何人都更接近于弥合直觉和数学连续体之间的“不可逾越的鸿沟”。特别是，他发现了一个令人信服的事实，即布劳威尔连续统不是两个不相交的非空部分的联合——它是不可分解的。“一个真正的连续体，”Weyl 说，“不能分成单独的片段。

7. 非标准分析

一旦连续统有了集合论的基础，在数学分析中无穷小的使用就基本上被放弃了。就这样，这种情况持续了好几年。1958 年 AH Laugwitz 和 C. Schmieden [ 43 ]的一篇论文显示了无穷小分析方法复兴的第一个迹象。但重大突破出现在 1960 年，当时数理逻辑学家亚伯拉罕·罗宾逊 (Abraham Robinson，1918-1974) 想到“当代数理逻辑的概念和方法能够为微积分和积分微积分的发展提供合适的框架。无穷小和无穷大的数字。” （参见 Robinson [1996], p. xiii）这种洞察力导致了 非标准分析，[ 44 ] 罗宾逊认为这是实现了莱布尼茨的无穷小和无穷大作为理想数与普通实数具有相同性质的概念。

在 Robinson 的初步洞察之后，开发了多种呈现非标准分析的方法。这是其中一个的草图。

从经典实数线 ℜ 开始，首先在它上面构建了一个集合论宇宙——标准宇宙：这里所说的这样一个宇宙是指一个 包含 ℜ的集合U集合、笛卡尔积和子集。

转移原理可以看作是莱布尼茨连续性原理的一个版本：它断言所有一阶性质在向标准宇宙的通道或从标准宇宙“转移”到非标准宇宙的过程中都被保留了下来。

U 的成员称为标准集或 标准对象；* U - U 非标准集合或非标准对象中的那些： * U 因此由标准和非标准对象组成。的*成员ü也将被称为* -套或* -对象由于ü ⊆* ù每一套（对象），此约定下也是* -set（对象）中的* -成员的* -set一个是* -objects X 为其中X *∈一。

如果一个是一套标准，我们可以考虑收集 Â -the 充气的A-包括所有的* -成员的 一个：这并不一定是一套甚至也不是一个* -set。所述充气 Â一组标准的一个可被视为相同的一组甲从一个非标准的有利位置观察。虽然显然A ⊆ Â， Â可能包含不在A 中的“非标准”元素。事实上可以证明无限标准集总是以这种方式“膨胀”。利用传递原理，任意函数f标准集之间自动扩展到一个函数——也写为f——在它们的膨胀之间。

现在假设自然数集合 ℕ 是U的成员。那么实数集 ℜ 也是如此，因为每个实数都可以用一组自然数来标识。ℜ 可以被认为是一个有序的域，因此它的inflate也是如此 ℜ^，因为后者具有与 ℜ 完全相同的一阶性质。 ℜ^ 被称为超现实线，其成员超现实。一个标准的超真实只是一个真实的，我们将把它称为标准真实。由于 ℜ 是无限的，所以必须存在非标准的超实数。饱和原理意味着必须有一个无限的（非标准的）超实数[ 45 ] ，也就是说，一个超实数a使得 对于每个n ∈ ℕ a > n。在那种情况下，它的倒数 1/ a在超过 0 的意义上是无穷小的，但对于每n小于 1/ n +1∈ ℕ。一般来说，我们称超现实为无穷小，如果它的绝对值 | 一个| 对于每个n ∈ ℕ小于 1/ n +1 。在那种情况下，无穷小集合I不仅包含 0，还包含大量（实际上是无限多个）其他元素。显然I是 ℜ 的可加子群，即如果a , b ∈ I，则a − b ∈ I。

膨胀的成员 ℕ^ 的 ℕ 被称为超自然数。至于超实数，可以证明 ℕ^ 还包含必须超过 ℕ 的每个成员的非标准元素；这些被称为无限超自然数。

对于hyperreals一个，b，我们定义一个≈ b，说一个和b是 无限接近，如果一个- b ∈ 我。这是关于超真实线的等价关系：对于每个超真实一个我们写μ（一）为等价类的一个这种关系下，并调用它的单子 的一个。因此，超实数a的单子由无限接近a的所有超实数组成的：它可以被认为是作为一个小的云中心位于一个。还要注意 μ(0) = I。

超真实a是有限的，如果它不是无限的；这意味着 | 一个| < n对于某些n ∈ ℕ 。不难证明有限性等价于接近标准的条件 ；这里一个超现实的一个是 接近标准，如果一个≈ [R对于一些标实[R 。

非标准分析的大部分用处源于这样一个事实，即涉及极限或 (ε, δ) 准则的经典分析陈述允许简洁、直观地转换为涉及无穷小或无穷数的陈述，进而使得能够给出经典分析的相对直接的证明。定理。以下是此类翻译的一些示例：[ 46 ]

让 < s n > 是一个标准的无限实数序列，让s是一个标准的实数。那么 s是 < s n > 在 ℜ 内的极限， lim n →∞ s n = s在经典意义上，当且仅当 s n ≈ s 对于所有无限下标 n。标准序列 < s n > 收敛当且仅当s n ≈ s m对于所有无限n和m。（柯西收敛准则。）

现在假设f是在某个开区间 ( a , b )上定义的实值函数。我们上面说过˚F自动延伸到功能也写 F-上

为了使标准实数c在x接近x 0 时成为f ( x )的极限 ， lim x → x 0 f ( x ) = c，其中x 0是 ( a , b ) 中的标准实数，它是对所有x ≈ x 0来说f ( x ) ≈ f ( x 0 ) 是充分必要的 。函数f在 ( a , b )中的标准实数x 0处连续 当且仅当 f ( x ) ≈ f ( x 0 ) 对于所有x ≈ x 0。（这相当于说f将x 0的单子映射到f ( x 0 )的单子。）为了使标准数c是f在x 0处的导数， 必须且充分的是f ( x ) − f ( x 0 )x - x 0≈C对于x 0的单子中的所有 x ≠ x 0。

许多其他数学分支都承认简洁而富有成效的非标准公式。

8.建设性的实线和直觉连续统

建设性数学发展的最初动机是将数学存在的想法置于建设性或可计算的基础上。虽然构造性数学有很多种（参见 Bridges 和 Richman [1987]），但这里我们将重点介绍 Bishop 的构造性分析（参见 Bishop 和 Bridges [1985]；Bridges [1994]、[1999]；以及 Bridges 和 Richman [1987]）和 Brouwer 的直觉分析（见 Dummett [1977]）。

在建设性数学中，只有在原则上至少可以产生明确的解决方案时，才能算作已解决问题。因此，例如，“有一个x使得 P ( x )”意味着，至少原则上，我们可以明确地产生一个x使得P ( x )。这一事实导致对经典逻辑的某些原则的质疑，特别是排中律，并创造了一种新的逻辑，即直觉逻辑（见直觉逻辑条目 ）。它还导致引入了对实数的尖锐定义——建设性实数。一个建设性实数是一个有理数序列 ( r n) = r 1 , r 2 , ... 使得对于任何k，可以以这样的方式计算数n使得 | r n + p − r n | ≤ 1/ k。每个有理数 a 可以通过将其标识为实数 (α, α, ...) 来视为实数。所有建设性实数的集合R是建设性实数线。

当然，对于任何“给定的”实数，有多种方法可以给出明确的近似序列。因此，有必要定义一个等价关系，即“实数相等”。这里的正确定义是： r = ℜ s iff 对于任何k，都可以找到一个数n使得 | r n + p − s n + p | ≤ 1/ k，对于所有p。说两个实数相等就是说它们在这个意义上是等价的。

实数轴可以用公理描述来提供。我们首先假设一组的存在[R与

二元关系 >（大于）由x # y ⇔ x > y或y > x定义的对应的间隔关系#一元运算x − x二元运算 ( x , y ) x + y (加法) 和 ( x , y ) xy (乘法)区分元素 0（零）和 1（一），其中 0 ≠ 1对元素集合 ≠ 0的一元运算x x −1。

R 的元素称为实数。实数X为正，如果X> 0和 负如果- X > 0的关系≥（大于或等于）由下式定义

x ≥ y ⇔ ∀ z ( y > z ⇒ x > z )。

关系 < 和 ≤ 以通常的方式定义；X 是非负如果0≤ X。如果x ≥ y且y ≥ x，则两个实数 相等，在这种情况下，我们写成x = y。

自然数 集N、正整数N +、整数Z和有理数Q用R的通常子集标识；例如，N +用形式为 1 + 1 + … + 1的R元素集标识。

这些关系和运算服从以下三组公理，它们共同构成了用于构造分析的公理系统 CA，或构造实数（参见 Bridges [1999]）。

场公理

x + y = y + x( x + y ) + z = x + ( y + z )0 + x = xx + (− x ) = 0 xy = yx( xy ) z = x ( yz )1 x = xxx −1 = 1 如果x # 0x ( y + z ) = xy + xz

顺序公理

¬( x > y ∧ y > x )x > y ⇒ ∀ z ( x > z ∨ z > y )¬( x # y ) ⇒ x = yx > y ⇒ ∀ z ( x + z > y + z )( x > 0 ∧ y > 0) ⇒ xy > 0。

最后两个公理引入了 > 和 ≥ 的特殊性质。在其中的第二个中，上界、下界和有界的概念在经典数学中定义为，如果存在，实数的非空[ 47 ] 集合S的 最小上界是唯一的实数b， 例如那

b是S的上限，并且对于每个c < b存在s ∈ S且s > c。

>的特殊属性。

阿基米德公理。对于每个x ∈ R使得x ≥ 0 存在n ∈ N使得x < n。

最小上限原则。令S是R 的一个非空子集，它相对于关系 ≥ 有界，这样对于所有实数a , b 且a < b，要么b是S的上界，要么存在s ∈ S且 s >一个。那么S有一个最小的上界。

然后可以建立 > 和 ≥ 的以下基本属性。

¬( x > x )X ≥ Xx > y ∧ y > z ⇒ x > z¬( x > y ∧ y ≥ x )( x > y ≥ z ) ⇒ x > z¬( x > y ) ⇔ y ≥ x¬ ¬( x ≥ y ) ⇔ ¬¬( y > x )( x ≥ y ≥ z ) ⇒ x ≥ z( x ≥ y ∧ y ≥ x ) ⇒ x = y¬( x > y ∧ x = y )x ≥ 0 ⇔ ∀ε>0( x < ε)x + y > 0 ⇒ ( x > 0 ∨ y > 0)x > 0 ⇒ − x < 0( x > y ∧ z < 0) ⇒ yz > xzx # 0 ⇒ x 2 > 01 > 0× 2 > 00 < x < 1 ⇒ x > x 2x 2 > 0 ⇒ x # 0n ∈ N + ⇒ n −1 > 0如果x > 0 且y ≥ 0，则 ∃ n ∈ Z ( nx > y )x > 0 ⇒ x −1 > 0xy > 0 ⇒ ( x ≠ 0 ∨ y ≠ 0)如果a < b，则 ∃ r ∈ Q ( a < r < b )

上面介绍 的构造实线R是CA的模型。 是否有任何其他模型，即不与R同构的模型。如果假设经典逻辑，则 CA是分类理论，因此答案是否定的。但在直觉主义逻辑中情况并非如此，因为 Dedekind 和 Cantor 实数可能无法同构，尽管它们都是CA 的模型。

在构造分析中，实数是由有效规则生成的有理数的无限（收敛）序列，因此构造实数线本质上只是其经典对应物的限制。Brouwerian 的直觉主义对这个问题采取了更自由的观点，导致与严格建构主义所提供的版本相比，算术连续统得到了相当大的丰富。正如直觉主义所设想的那样，算术连续统不仅承认由计算其项的有效规则预先确定的无限序列，而且承认其生成自由选择起作用的无限序列为实数。后者被称为 （自由）选择序列。不失一般性，我们可以并且应该假设选择序列中的条目是自然数。

虽然构造性分析在形式上并不与经典分析相矛盾，并且实际上可以被视为后者的子理论，但已经为选择序列理论提出了许多直觉上合理的原则，这些原则使得直觉分析与其经典分析不同。一种这样的原则是 布劳维尔的连续性原理：给定的关系 Q（α，Ñ）之间的选择序列α和数字Ñ，如果对于每个α若干Ñ可以被确定为哪些Q（α，Ñ）成立，则 Ñ已经可以根据有限数量的 α 项的知识确定。[ 48] 由此可以证明连续性定理的一个弱版本，即从R到R 的每个函数都是连续的。另一个这样的原则是Bar Induction，这是对有充分根据的有限序列集的某种形式的归纳[ 49 ]。Brouwer 使用 Bar Induction 和连续性原理证明了他的连续性定理，即在闭区间上定义的每个实值函数都是一致连续的，正如已经观察到的，由此可以得出直觉连续统是不可分解的。

布劳威尔通过引入创造性主题，对数学的直觉主义概念进行了明确的主观扭曲。创造性主体被设想为一种理想化的数学家，在他看来，时间被划分为离散的连续阶段，在每个阶段中，他可以测试各种命题，尝试构建证明等。特别是，总是可以确定在阶段n创意主体是否具有特定数学命题p的证明。虽然创造性主体的理论仍然存在争议，但其纯粹的数学结果可以通过一个完全没有主观和时间因素的简单假设来获得。

创造性主体允许我们为给定的命题p定义 一个二元序列 < a n > 由 a n = 1 如果创造性主体在阶段n有p的证明 ；一个Ñ =否则为0。现在，如果这些序列的构建是创造性主题的唯一用途，那么可以通过假定称为Kripke 方案的原理来避免对后者的引用

对于每个命题p存在一个递增的二进制序列 < a n > 使得p 成立当且仅当a n = 1 对某些 n。

综上所述，这些原则已被证明对连续统子集的不可分解性具有显着影响。不仅直觉连续统是不可分解的（也就是说，不能分成两个非空的不相交部分），而且，假设连续性原理和克里普克方案，即使有人用大头针戳它，它仍然是不可分解的。直觉主义的连续统可以说是一种糖浆的性质，因此人们不能简单地拿走一点。如果另外假设 Bar Induction，那么更令人惊讶的是，即使从连续体中移除所有有理点，仍保持不可分解性。

最后，已经表明可以在直觉主义数学中发展无穷小的自然概念（参见 Vesley [1981]），这个想法是无穷小应该是一个“非常小”的实数，因为它是未知的可区分——即严格大于或小于——零。

9. 平滑无穷小分析

随着合成微分几何（也称为平滑无穷小分析(SIA) [ 50 ]）的出现，无穷小概念的重新建立发生了重大发展。. 基于美国数学家 FW Lawvere 的思想，采用范畴论的方法，平滑无穷小分析提供了一个世界的形象，其中连续是一个自主的概念，不能用离散来解释。它为数学分析提供了一个严格的框架，其中空间之间的每个函数都是平滑的（即，可以任意多次微分，因此特别是连续的），并且在定义微积分的基本概念时使用极限被幂零无穷小代替，也就是说，数量非常小（但实际上不是零），以至于某些幂（最有用的是平方）消失了。由于在 SIA 中所有函数都是连续的，它以惊人的方式体现了莱布尼茨的连续性原则Natura non facit saltus.

在下文中，我们使用粗体R来区分 SIA 中的实线与经典和建设性分析中的对应线。在微积分的通常发展中，对于实数直线R上的任何可微函数f，y = f ( x )，从泰勒定理得出增量 δ y = f ( x + δ x ) − f ( x ) 在 y伴随增量 δ x在x 由以下形式的方程确定

δ y = f ′( x )δ x + A (δ x ) 2 , (1)

其中˚F '（X）是的衍生物 ˚F（X）和阿是一个量，其值取决于在两个X和δ X。现在，如果有可能将 δ x取这么小（但不能证明与 0 相同）以至于 (δ x ) 2 = 0 那么 (1) 将采用简单的形式

f ( x + δ x ) − f ( x ) = δ y = f ′( x ) δ x。(2)

我们将称一个具有平方为零的性质的量称为nilsquare 无穷小或简单地称为微量。在SIA“足够”数量微小的存在是为了保证式（2）成立非平凡为任意 函数F： - [R → [R 。（当然，（2）在标准数学分析中是微不足道的，因为在这个意义上，0 是唯一的微量。）这里的术语“非平凡”的含义可以通过以下方式来解释。如果我们用代表任意微量的字母 ε替换 δ x，则（2）采用以下形式

f ( x + ε) − f ( x ) = ε f ′( x )。(3)

理想情况下，我们希望这个方程的有效性与 ε 无关，也就是说，给定x，因为它适用于所有 微量 ε。在那种情况下，导数f '( x ) 可以定义为唯一量 D，使得方程

f ( x + ε) − f ( x ) = ε D

对所有微量 ε 成立。

在这个方程中 设置x = 0，我们特别得到

f (ε) = f (0) + ε D , (4)

对于所有 ε。在光滑无穷小分析中，方程（4）被视为公理。让我们为微量集合写 Δ，即，

Δ = { x : x ∈ R ∧ x 2 = 0}。

然后假设，对于任何f : Δ → R，存在唯一的 D ∈ R使得等式 (4) 对所有 ε 成立。这表示f的图形是一条通过 (0, f (0)) 且斜率为 Δ的直线。因此，对任何Δ功能是数学家长期仿射，所以这个假设自然是被称为原则的microaffineness。这意味着 Δ不能弯曲或断裂：它只受平移和旋转的影响——然而并不（正如在普通分析中那样）与一个点相同。Δ 可以被认为是一个拥有位置和态度的实体，但缺乏真正的外延。

现在考虑从 Δ 到其自身的映射的空间 Δ Δ。它遵循从microaffineness原则，即子空间（Δ Δ）0 的Δ Δ由图中的0消失是同构的 [R [ 51 ]。空间 Δ Δ是 组合下的幺半群[ 52 ]，可以通过评估将其视为作用于 Δ ：对于f ∈ Δ Δ， f · ε = f (ε)。它的子空间 (Δ Δ ) 0 是一个自然确定为微量比的空间 的亚幺半群. 上面提到的(Δ Δ ) 0 和R之间的同构很容易看出是幺半群的同构（其中R在其通常的乘法下被认为是幺半群）。因此， R本身可以被视为微量比的空间。这基本上是欧拉的观点，他认为（实）数代表计算比率 0/0 的可能结果。为此，劳维尔建议将 R称为欧拉实数空间。

如果我们将函数y = f ( x ) 视为定义一条曲线，那么对于任何a，通过将 Δ 转换为a获得 的“微区间” Δ + a在f下的图像是直的，并且与 a 的切线重合在x = a处的曲线。从这个意义上说，每条曲线都是“无限直的”。

从微亲和原理我们推导出微消除的重要 原理，即。

如果对于所有ε ε a = ε b，则 a = b。

因为前提断言g (ε) = aε定义 的函数g : Δ → R的图既有斜率a 又有斜率b：微仿射原理中的唯一性条件则给出a = b。微抵消原理提供了在平滑无穷小分析中存在“足够”无穷小的确切含义。

从微仿射原理还可以得出，R上的所有函数 都是连续的，即 发送相邻点到相邻点。这里两点X，ÿ上- [R被认为是邻居如果X - Ÿ是在Δ，即，如果 X和ÿ通过微量不同。要看到这一点，给定 f  : R → R和相邻点x , y，请注意y = x + ε 且 ε 在 Δ 中，因此

f ( y ) − f ( x ) = f ( x + ε) − f ( x ) = ε f ′( x )。

但显然微量的任何倍数也是微量，所以 ε f '( x ) 是微量，结果如下。

事实上，由于等式（3）对任何f 成立，它也对它的导数f '成立；因此，平滑无穷小分析中的函数可以任意多次微分，从而证明使用“平滑”一词是合理的。

让我们推导出微积分的基本定律， 乘积规则：

( fg )′ = f  ′ g + fg ′。

为此，我们计算

( fg )( x + ε) = ( fg )( x ) + ε( fg )′( x ) = f ( x ) g ( x ) + ε( fg )′( x ),

( fg )( x + ε) = f ( x + ε) g ( x + ε) = [ f ( x ) + f  '( x )]·[ g ( x ) + g '( x )]

= f ( x ) g ( x ) + ε( f  ′ g + fg ′) + ε 2 f  ′ g ′

= f ( x ) g ( x ) + ε( f  ′ g + fg ′),

因为 ε 2 = 0。因此 ε( fg )' = ε( f  ' g + fg ')，结果是微抵消。

甲静止点中[R的函数的 ˚F  ：- [R → [R被定义为一个在其附近“无穷小的变化”不能改变的值 ˚F，即，使得˚F（A + ε）= ˚F（一）对于所有 ε。这意味着 f ( a ) + ε f ′( a ) = f ( a )，因此对于所有 ε ε f  ′( a ) = 0，因此从微消除可以得出f  ′( a) = 0。这就是费马定律。

我们在平滑无穷小分析中采用的关于驻点的一个重要假设是

恒常原则。如果区间 J中的每个点都是f的静止点 ：J → R（即，如果f  ′ 相同为 0），则f是常数。

简而言之，“普遍局部恒常性意味着全局恒常性”。由此可见，具有相同导数的两个函数最多相差一个常数。

在普通分析中，连续统R是连接的，因为它不能被分成两个非空子集，这两个子集都不包含另一个的极限点。在平滑无穷小分析中，它具有强大得多的 不可分解性：它不能以任何方式分成两个不相交的非空子集。假设 R = U ∪ V且U ∩ V = ∅。定义f  : R → {0, 1} by f ( x ) = 1 if x ∈ U , f ( x) = 0 如果x ∈ V。我们声称f是常数。因为我们有

( f ( x ) = 0 或f ( x ) = 1) & ( f ( x + ε) = 0 或f ( x + ε) = 1)。

这给出了 4 种可能性：

(i) f ( x ) = 0 & f ( x + ε) = 0

(ii) f ( x ) = 0 & f ( x + ε) = 1

(iii) f ( x ) = 1 & f ( x + ε) = 0

(iv) f ( x ) = 1 & f ( x + ε) = 1

由于f是连续的，因此可以排除可能性 (ii) 和 (iii) 。这留下了 (i) 和 (iv)，其中 f ( x ) = f ( x + ε)。所以 f是局部的，因此是全局的，恒定的，即恒定为 1 或 0。在第一种情况下V = ∅ ，在第二种情况下U = ∅。

我们观察到平滑无穷小分析的假设 与经典逻辑排中律不相容。这种不兼容可以通过两种方式来证明，一种是非正式的，另一种是严格的。首先是非正式论证。考虑由 f ( x ) = 1 如果x = 0 和f ( x ) = 0为实数x定义的函数f，只要x ≠ 0。如果排中律成立，那么每个实数要么相等，要么不相等到 0，以便函数f将在整个R上定义 。但是，被视为具有域的函数 R , f显然是不连续的。因为，正如我们所知，在平滑无穷小分析中，R上的每个函数 都是连续的，所以f 在那里不能有域 R [ 53 ]。所以排中律在光滑无穷小分析中失效。简而言之，普遍连续性意味着排中律的失败。

现在是严格的论证。我们证明排中律的失效可以从无穷小对消原理推导出来。首先，如果x ≠ 0，则 x 2 ≠ 0，因此，如果x 2 = 0，则不一定x ≠ 0。这意味着

对于所有无穷小的ε，不是 ε ≠ 0。(*)

现在假设排中律成立。那么我们将有，对于任何 ε，ε = 0 或 ε ≠ 0。但是 (*) 允许我们排除第二个选择，并且我们推断，对于所有 ε，ε = 0。这可以写成

对于所有ε，ε·1 = ε·0，

从中我们通过微取消推导出错误 1 ​​= 0。所以排中律再次失败。

因此，平滑无穷小分析的“内部”逻辑不是完整的经典逻辑。相反，它是 直觉逻辑，即源自对数学断言的建设性解释的逻辑。在我们的简短草图中，我们没有注意到这种“逻辑的变化”，因为与大多数初等数学一样，我们讨论的主题自然而然地通过直接计算等建设性方法进行了处理。

SIA 中R 的代数和阶结构是 什么？就前者而言，与经典情况几乎没有区别：在SIA R中配备了通常的加法和乘法运算，它是一个域。特别是， R满足每个x ≠ 0 具有乘法逆的条件。但是请注意，由于在 SIA 中没有微量（除了 0 本身）可证明 ≠ 0，因此微量不需要具有乘法逆（会导致不一致的要求）。从严格代数的角度来看， R SIA 与经典对应物的不同之处仅在于它需要满足无穷小对消原理。

然而，就SIA中R的顺序结构而言，情况有所不同。由于排中律失效，SIA中R上的序关系<不能满足三分律

x < y ∨ y < x ∨ x = y ,

因此 < 必须是部分排序，而不是 总排序。由于微量没有乘法逆元，并且R是一个域，因此任何微量 ε 必须满足

¬ε < 0 ∧ ¬ε > 0。

因此，如果我们定义关系 < by x < y iff ¬( y < x )，那么，对于任何微量 ε，我们有

ε ≤ 0 ∧ ε ≥ 0。

使用这些想法，我们可以在 SIA 中识别R上 0 的三个无穷小邻域，每个邻域都包含在其后继中。首先是微量本身的集合Δ，其次是与0无法区分的元素的集合I = { x ∈ R : ¬ x ≠ 0}；最后，集合J = { x ∈ R : x ≤ 0 ∧ x ≥ 0} 的元素既不小于也不大于 0。这三个可以被认为是 0 的无穷小邻域，在代数、逻辑和阶论上定义，分别。

在 SIA 的某些模型中，自然数系统 具有一些微妙而有趣的特征，这使得可以引入另一种类型的无穷小——所谓的 可逆无穷小——类似于非标准分析的那些，它的存在适当地产生了另一个无穷小邻域 0包含上面介绍的所有内容。

在 SIA 中，自然数集合N可以定义为R的最小子集，其中包含 0，在加 1 的运算下是封闭的。 在 SIA 的一些模型中， R满足阿基米德原理，即每个实数被自然数。然而，已经构建了 SIA 模型（参见 Moerdijk 和 Reyes [1991]），其中 R在这个意义上不是阿基米德。在这些模型中，更自然地考虑代替N，由定义的平滑自然数的集合 N*

N* = { x ∈ R : 0 ≤ x ∧ sin π x = 0}。

N*是平滑曲线y = sin π x与正 x轴的交点集。在这些模型中，R可以被证明具有阿基米德性质，前提是在定义中 N 被 N*替换。在这些模型中，N是N* 的真子集：N* − N的成员 可以被认为是 非标准整数. 非标准整数的乘法逆是无穷小，但由于它们本身是可逆的，因此它们与我们目前所考虑的类型不同。很容易证明它们以及J 中的无穷小 （以及 Δ 和I中的无穷小）都包含在集合中——更进一步的无穷小邻域 0——

K = { x ∈ R: ∀ n ∈ N (−1/ n +1 < x < 1/ n +1)}

R 的无限小元素 。集合成员

In = { x ∈ K : x ≠ 0}

K 的可逆元素的个数自然地被识别为 可逆无穷小。而获得作为“无限大”的实数逆（即，实数- [R满足∀ Ñ ∈ Ñ（Ñ < - [R）∨∀ Ñ ∈ Ñ（[R <-n））的成员 。在是的无穷小的SIA中的对应物非标准分析。

最后，简要介绍一下SIA的模型。这些是所谓的平滑拓扑，某种类别（见范畴论条目 ），其中可以执行所有通常的数学运算，但其内部逻辑是直观的，并且空间之间的每个映射都是平滑的，即，可以无限微分。正是这种“普遍的平滑性”，使得像 Δ 这样的无穷小物体的存在成为可能。平滑拓扑的构建（参见 Moerdijk 和 Reyes [1991]）保证了 SIA 与直觉逻辑的一致性。尽管 SIA 与经典逻辑不一致，但事实确实如此。