带你学考点|数量关系考点——和定最值

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知识引导

和定最值是数量关系中经常会考到的一种极值问题。

1.题型特征：已知几个数的和一定，求其中某个数的最大值或最小值的问题。

2.解题原则：当总和一定的情况下，

若求其中某个数的最大值，则让其它数尽可能的小;

若求其中某个数的最小值，则让其它数尽可能的大。

3.解题方法：根据题目信息建立等量关系从而求解。

4.取整原则：求最大，向下取整;求最小，向上取整。

练习题

例1

5名学生参加最美逆行者征文比赛，共得93分。已知每人得分各不相同且均为整数，且最低是13分，则最高分最高为?

A.30分 B.35分 C.40分 D.45分

解析B。

由题目已知，每人得分各不相同，故可将5名学生按照成绩由大到小排序(如上图所示)，此时要求排名第一的学生分数最高，则使其他4名同学成绩尽可能的低。此时在表中标上相应的箭头(最高：向上箭头，最低：向下箭头)。已知最低为13分，且得分各不相同均为整数，那么其他人要想尽可能的低，则设第一名为X，则第五、四、三、二名依次应为13、14、15、16，共为93分，故有X+16+15+14+13=93，即X+58=93，解得X=35，故最高分最高为35分，选B项。

例2

现有21本故事书要分给5个人阅读，如果每个人得到的数量均不相同，那么得到故事书数量最多的人至少可以得到( )本。

A.5 B.7 C.9 D.11

解析B。如下所示，将五个人按照所得故事书从多到少依次排列：

已知故事书总数为21本，所求为分得数量最多的人即一号的最小值，则让二、三、四、五号所取得的故事书尽可能多，不妨设一号的最小值为X，由于每个人得到的数量均不相同，此时二号尽可能多的同时也要略少于一号，因此二号最大取X-1，以此类推，三号、四号、五号的最大值依次为X-2、X-3、X-4。根据书本总数为X+X-1+X-2+X-3+X-4=21，解得X=6.2。因书本是整数且所求为最小值，故向上取整，X=7。选择B。

例3

从某物流园区开出6辆货车，这6辆货车的平均装载量为62吨，已知每辆货车装载量各不相同且均为整数，最重的装载了70吨，最轻的装载了54吨。问:这6辆货车中装货第三重的货车至少装载了多少吨?

A.59 B.61 C.62 D.63

解析C。根据这6辆货车的平均装载量为62吨可得6辆货车总装载量为62×6=372吨。根据解题思路和一定，求某个量最小，其余量尽可能大，可确定第一重的装载70吨，第二重的装载69吨，所求的第三重的装载x吨，第四重的尽量重但不超过第三重的，所以为x-1吨，同理第五重的为x-2吨，第六重的根据已知条件为54吨，分别表示如下：

列式：70+69+x+(x-1)+(x-2)+54=372，x≈60.7，为最小值，即最小不能小于60.7，但题目要求装载量为整数，所以向上取整为61，选B。

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