如何证明中垂线（数学中那些看起来不证自明的道理）

生活中，唯一性代表了稀缺和不二。有一句俗语很形象地说明了这一点：八亩田一根蒜。数学中，也有唯一性这种说法，但这些唯一性背后的数学逻辑，往往为人所忽视。数学中的唯一性大多出现在相关的几何概念之中，一般是由位置的唯一性而产生相关图形唯一，数量关系确定。

01--数学中唯一性的相关概念

细数起来，初中几何入门从直线、相交线、平行线、垂线、中点、角平分线等这些基本概念开始，我们陆续接触到与唯一性的概念。

两点确定一条直线过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行过已知点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线相交有且有一个交点过不共线的三点的圆有且只有一个

02--这些唯一性背后的数学逻辑

两点确定一条直线

俗称直线公理，直线公理在教科书上是开门见山第一条。所谓公理，才是不证自明的，大家都公认的事实。直线公理是欧式几何公理体系的基石，整个欧式几何体系就是建立在23个定义,5个公设,5个公理的基础之上的。

过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

俗称平行公理，欧几里得第五公设，是《几何原本》中的第五条的公设，不证自明。由此还得出出另外一条推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

图1

如图1，平行公理的说明：已知点A为直线a外一点，直线l过点A且l//a。设直线l1过点A且l1//a,按平行公理，直线l与直线l1必然重合，即过点A与直线a平行的只有一条。

在同一个平面内，过已知点有且只有一条直线与这条直线垂直

俗称垂直定理，这条定理可以用欧氏几何的公理来进行证明。证明要分两种情况：已知点在直线上；已知点在直线外。

如图2，当点A在直线a上时，直线l过点A且l⊥a，求证：直线l是唯一的。

图2

证明：假设另有一条直线l1过点A，且l1⊥a，则∠2=90°；由l⊥a得，∠1=90°；l1在∠1的内部，则∠1>∠2，这与∠1=∠2=90°矛盾，因而直线l唯一。

如图3，当点A在直线a外时，直线l过点A且l⊥a，求证：直线l是唯一

图3

证明：假设l1过点A且l1⊥a，则∠1=90°；由l⊥a得，∠2=90°，因而∠1=∠2=90°，所以l1//l，这与平行公理矛盾(过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行)，假设不成立，故直线l唯一。

综上所述，在同一个平面内，过已知点有且只有一条直线与这条直线垂直。

两条直线相交有且有一个交点

如图4，设直线a，b相交于点A，求证：点A是唯一的。

图4

证明：假设直线a，b相交于另外一点B，则直线a，b同时经过点A和点B，即点A，点B确定两条直线a，b。这与直线公理矛盾(两点确定一条直线)，故两条直线相交有且只有一个交点。

过不共线的三点的圆有且只有一个

如图5，△ABC，⊙O过点A，B，C，求证：⊙O唯一。

分析：欲证⊙O唯一，即证圆心O唯一，半径是定值。圆心O必须满足条件：到点A，B，C的距离相等。为此，作两边的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心。

证明：作两边BC，AC的中垂线a，b，相交于点O。

点O在中垂线a上，由中垂线的性质，OB=OC；

点O在中垂线b上，由中垂线的性质，OA=OC；

所以OA=OB=OC，即点O到A，B，C三点的距离相等。

因而点A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上，

因为两条中垂线的交点O唯一，OA是定值，因此⊙O唯一。

值得再多说一句的是，这个证明过程还顺带推出另外一个结论：三角形三边的中垂线必然相交于同一点，该点即为三角形的外心。

为什么呢？因为已证点O唯一，因此过点O与AB边垂直的直线c唯一(垂直定理，前面已证)，由垂径定理垂线c平分边AB，因此直线c是边AB的中垂线。所以三边的中垂线必相交于一点O。

图5

03--唯一性的应用之最(小)值

两点之间，线段最短

两点确定一条直线，联结这两点的所有线中，线段最短。所有线，包括折线，曲线等，如图6，折线长>AB，曲线长>AB，即AB最短。

图6

垂线段最短

过已知直线外一点，作已知直线的垂线有且只有一条。这一点与已知直线上所有点的连线中，垂线段最短。如图7，点A与直线a的任意点所连线段AB，AC，AD，AE，AF，AG，AH，。。。，中，垂线段AD是唯一的且是最短的。

图7

三角形两边的关系与三条线段组成三角形的条件

利用两点之间，线段最短，可以推导出：

三角形任意两边之和大于第三边，两条较短的线段之和大于第三条线段，则三条线段可以组成三角形。

将军饮马问题

如图8，点A，B在直线l的同侧，在直线l上作一点P，使得点P到点A，B的距离之和最小，即PA+PB最小。

作点A关于直线l的对称点A'，连A'B交直线l于点P，点P即为所求。在直线l上另取一点P1，点P1到点A，B的距离之和=折线AP1B=折线A'P1B=A'P1+BP1，点P到点A，B的距离之和=折线APB=A'P+PB=A'B。在△A'P1B中，由两边之和大于第三边得，A'P1+BP1>A'B=点P到点A，B的距离之和，即点P到点A，B的距离之和最小。

04--结语

唯一性以直线公理，平行公理为基础，推导出一系列与之相关的概念，并在应用中与求相关量的最(小)值相联系。其证明方法，常常采用反证法，求相关量的最小值，常常将问题转化为三角形三边的关系来解决。