二倍角公式证明（2020年中考数学专题复习）

在2020年中考专题复习，等角、倍角、最大角、范围角问题，难度大，这篇文章中，我们主要介绍了等角问题的构造。其实，在构造等角的同时，也可以构造出二倍角，只不过由于初中阶段没有学过二倍角公式，因此无法直接利用三角函数来解决问题。我们可以借助等角的构造，来构造二倍角。

方法一：延长二倍角的某一边，构造等腰三角形

在△ABC中，∠BAC=2∠ACB，可延长CB到D，使得BD=AD，连接AD，构造出两个等腰三角形，即△ABD与△ACD都是等腰直角三角形。

最常见的应用就是求三角函数值，初中阶段要求掌握的特殊角的三角函数值，特殊角包括30°、45°和60°，那么如果求解15°角的三角函数值呢？我们就可以借助上面这种模型。

在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，那么我们可以延长BD，使得BD=AB，由此构造出等腰三角形ABD，且∠D=∠BAD=15°，根据锐角三角函数的定义求出15°角的正切值。

那么，除了这么构造以外，有没有其它构造方法呢？

方法二：作二倍角的平分线，构造等腰三角形

在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，那么我们可以做∠ABC的平分线交AC于点D，则∠ABD=∠DBC=∠ACB，构造了等腰三角形BCD。

例题1：如图，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，AD⊥BC，CD=4BD，AC=43，则AD的长是多少？

分析：作辅助线，构建等腰三角形，先证明∠G=∠C，则AG=AC，设BD=x，则CD=DG=4x，AB=BG=3x，根据勾股定理列方程可得x的值，从而得AD的长。

例题2：在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠ABC=2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD相交于点O，且OC=AB，求∠A的度数．

分析：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定还想着，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键。过B作BF平分∠DBC交AC于F，根据角平分线的性质得到BD平分∠ABC，∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，由∠ABC=2∠ACB，得到∠ACB=∠ABD=∠CBD，由角平分线的定义得到∠1=∠3=1/2∠DBC，∠4=∠2=1/2∠ACB，推出△OBC≌△FCB，根据全等三角形的性质得到OC=BF，由AB=OC，得到BF=AB等量代换得到∠ABF=∠AFB，求得AB=AF，即可得到结论。

常用这两种方法构造出二倍角，然后求解。