证明三角形内角和为180度的方法（全等三角形专题）

为何要通过90°,180°找等角证全等

证三角形全等，主要是找3对全等，有时候题目会给1对等边，这时候我们就要找2对等角。因为垂直，就多了一对等角，因为A+B=C+B=90°，就会有A=C的关系，这样又多了一对角。2对角+1对边，全等自然有了。

为什么是90°,180°，不是60°,120°，那是因为90°是垂直，180°是平角，是直线，90°和180°易得也易作，所以通过90°,180°就能容易证明全等。

图1

如图1：有3条垂线，一条直线MN，对于△ACD和△BEC,很容易通过角和180°，角和90°得出对应角相等。这时候，如果再给一对边相等，比如AC=BC，那么就能证明△ACD和△BEC全等。

这种图形就是常说的“K”线图、三垂图，而在我看来，数学不需要这些花里花哨的称呼，所以我把这种图形，或者模型，叫做：通过90°,180°找相等角证全等

然后做一些练习题，来体会一下，什么叫做通过90°,180°找相等角证全等。

练习题一

已知，AD⊥ MN,BE⊥ MN,AC⊥ BC, AC=BC证明△ACD≌△CBE,

证明思路：

已知，AD⊥ MN，可得∠DAC+∠DCA = 90°，AC⊥ BC可得∠ECB+∠DCA= 90°，所以∠ECB=

∠DCA，又因为AC=BC，根据AAS可以证明△ACD≌△CBE。

利用了三角形三角和为180°，一只角为 90°，那么另外两角和为 90°。也利用了平角和为 180°，其中一只角为 90°，那么另外两角和为 90°。所有的关系都是通过90°和180°得到的，这就是证明全等过程中最重要的环节。

例题二

已知，AD⊥ MN,BE⊥ MN,AC⊥ BC, AC=BC，证明DE=AD-BE

证明思路：

要证DE=AD-BE，就得想办法把它们整到一条线、一个三角形或者一对全等三角形中。那么，问题就变成了如果AD=CN=CD+DN,CD=BN,我们就可以证明它们的关系。所以想办法证明，△ADC≌△CEB。

三个垂线就有3个直角，可以得出∠ADC=∠CNB,AC=BC，一角一边已在，再找一角或一边，很显然这里我们要找角。

因为∠CAD+∠ACD=90°,∠BCN+∠ACD=90°,可得∠CAD=∠BCE，另一对已经找到，那就可以通过AAS证明，△ADC≌△CEB，也可以得到，AD=CD+DE=BE+DE,即DE=AD-BE

例题三：

在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE//BD、CE⊥AC，且AE、CE相交于点E，求证AD=CE。

证明思路：

要证AD=CE很自然得想到即证△ABD≌△CAE，然后找边，找角。

AD⊥AB，CE⊥AC可得∠BAD=∠ACE,又因为AB=AC，再找一对角就行。

因为AE//BD，可得∠E=∠ECD，而AB=AC可得∠B=∠ACB,AB垂直AD可得∠B+∠D=90°,AC垂直CE可得∠ACB+∠ECD=90°,三个等式就可以得出∠D=∠ECD,最后得出∠E=∠D,根据AAS证明△ABD≌△CAE，所以AD=CE。

通过三角形和为180°，其中一对角相等，一对角是对顶角也相等，就可以得到，∠D=∠E，然后根据AAS证得△ABD≌△CAE，即AD=CE。

总结：这个例题没有三垂线，但是多了一个条件平行，我们通过平行，通过三角形内角和为180°依然得出一对等角，所以借助90°,180°能让解题更轻松。

例题四：

△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.

(1)求证：BE＝CF；

(2)在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.

求证：①ME⊥BC；②DE＝DN.

证明思路：

（1）AB=AC和AD⊥BC可以得出∠B=∠ACB=45°,FC⊥BC,又能得出∠ACF=45°,通过垂直， 两角和为90°，也能得出∠BAE=∠CAF,根据AAS，可以证得△ABE≌△ACF，所以BE＝CF

（2）①要证①ME⊥BC，得想办法证明∠BEM=∠DEM=90°,或者ME//AD或者其他。但是不能直接得到这些结论，所以从条件着手。

AE平分∠BAD，AD⊥BC，条件反射，做EG⊥AB，可得GE=ED，也很容易得出∠BEG=90°-45°=45°,所以△BEG是等腰直角三角形（注意这里的等腰是2个45°得出的,），那么BG=GE=DE

因为BM＝2DE，所以GM=2DE-BG=GE，所以△MEG是等腰直角三角形，所以∠GEM=45°,所以∠BEM=45°+45°=90°，即ME⊥BC

②要证DE＝DN,其实很容易想到证明△AED≌CND,AD=DC和垂直得到直角，所以只要再找一对角就行，这里选择找∠EAD=∠NCD,为什么？因为角在直角中，可以用题目中的相关条件。当然，如果不行，再考虑其他角。

要证∠EAD=∠NCD，如果AE⊥MC我们就能轻易证明，但是题目没给这个条件，那么就要想其他办法。

细想一下，通过之前的证明，我们都找出好多90°，45°角，那么尝试一下能否把要证明的角算出来。AE平分∠BAD,∠BAD=45°,所以∠EAD=22.5°,但是∠NCD还是很难求。

继续思考，如果MC平分∠ACB，那么以∠EAD就是45°的一半，就可求了。突然发现，要证明△ACM≌ECM(已有公共边和一对直角),需要一对角或者一条边，等角好像找不到，那就找边。感觉AC=EC，如果相等，也就是∠AED=∠EAC，然而∠AED=90°-22.5°=67.5°，同理：EAC=90°-22.5°=67.5°，居然通过两个67.5°得到AC=EC，然后得到△ACM≌ECM（HL），所以MC平分∠ACB，即∠NCD=22.5°

然后再得出△AED≌CND，最后证明DE＝DN

总结：例题四是很好的题，把通过90°,180°找相等角这个方法展现的淋漓尽致，不但有90°-45°=45°找等角，甚至还有90°-22.5°=67.5°找等角，找等边。做明白这个题，也就明白了通过90°,180°找相等角证全等的精髓。

配套视频

《全等三角形专题——通过90°,180°找等角证全等,最后一题有东西》