怎样证明面面垂直（浅谈几何模型）

本文作者：刘瑞祥，[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持！

几何模型，好像没有什么严格的定义，如果让我说，不妨理解为几何题里常遇到的“套路类型”，闭眼一想，大致包括平行线、全等三角形、等边（等腰）三角形、直角三角形、相似三角形、四点共圆等几种。那么，几何模型除了在解题时出现频率高，还有什么重要性呢？笔者以为有这两个方面：

第一，几何模型中存在着很多关系，比如平行线模型就包括以下关系：

同位角和内错角相等，同旁内角关系；三角形中位线平分两腰；平行线分线段成比例。因此可以从平行导出各种结论。

第二，很多几何模型同时存在着定理和逆定理，从另一角度来说，就是往往都同时有判定定理和性质定理，这就能实现数量和图形之间的反复转化，使我们的推理顺利进行。

下面我们通过例题来看看使用几何模型要注意的问题。

问题一：证明面积相等

已知：ABCD 是过平行四边形，EK、GH 分别平行于其两边，且交点 F 恰好位于对角线 AC 上。 求证：两部分 FKDG 和 FEBH 面积相等。

这个问题用全等模型很简单，可以一眼看出结论。但是如果因为看见“平行”就贸然用平行线模型（分线段成比例），虽然仍然能够证明，但是就繁琐很多了，可能需要设各个量，再用字母计算。可见，适当选取几何模型，可以极大简化解题过程。

问题二：证明线面垂直判定定理

我们把原题目改造如下，以突出重点。

已知：直线 AB 与平面交于点 A，AB 垂直于 AC 和 AD。AE 是过 A 点的任意直线。 求证：AB 也垂直于 AE。

这是立体几何里一个重要的定理，一般的几何书里都有证明过程。本题乍看之下似乎无从下手，但是通过适当构造全等三角形，反复转化边角的相等关系，最终得到结论。可见，如果没有合适的几何模型，就要去构造模型，而构造的方法是添加辅助线。

另外，因为我们要主动构造模型，所以一定要构造那种方便我们证明的模型，比如本题中把 AB 反向延长到 F，并使 AF 等于 AB，就是很重要的一点。按说，直线自然是两端都可以无限延长的，何必向平面另一侧延长？更何必 AF 等于 AB 呢？原因无他，易于利用也。

后面我还会发文谈谈几何模型，敬请大家批评指正。