拉格朗日乘数法证明（通俗易懂）

文章来源：公众号【机器学习炼丹术】

在SVM中，将约束问题转化成非约束问题采用到了拉格朗日乘子法。这个文章就讲一下拉格朗日乘子法与KKT约束是怎么回事。本人不是数学科班出身，但是也只能硬着头皮讲一讲了。

从零理解

现在我们要解决这样一个问题：这个函数距离原点最近的距离是多少。

先画出函数图像：

然后想求出最短距离：

这里的思路就是，做一个以原点为中心的圆形：

不断扩大圆形的半径，直到圆与蓝色的曲线相切：

现在。第一次与相交的点就是距离原点最近的那个点：

这个，圆形与曲线相切，且切线既是圆形的切线，也是曲线的相切。

这时候，这个切线的垂线其实也就是我们所说的梯度，也叫做等高线的法线，看下面两个图可能会好理解一些：

那么这个梯度怎么计算呢？先看圆形的梯度：

再看曲线的梯度计算的梯度：

在相切的时候，两者的梯度方向都在同一条直线上，可以称之为，成比例，这里用比例系数来表示：

所以我们汇总一下所有的已知信息，得到下面的方程组：

可以求解得到：

这个就是拉格朗日乘子法的直观理解。

抽象成数学的形式

我们要解决的问题：

我们会将约束问题通过拉格朗日乘子法转换成非约束问题：

【为什么可以这样呢？】如果求极值，偏导数为0。先对上面的公式进行求偏导数：

这两个等式与这个等价，唯一的不同就是一个是正数一个是负数:

当然，对于这个条件，我们也可以写成，所以，可以得到这样的一个方程组：

KKT条件

之前的拉格朗日的约束条件是等值的，现在可以通过KKT条件推广到不等式。因为限制条件往往是不大于，小于这样的不等式，所以KKT才是拉格朗日化约束问题为非约束问题的关键。

对于不等式问题，就是有两种情况：

可行解在g(x)<0，就表示这个约束条件并没有起到约束效果，有跟没有是一个效果（下图中的左图）；可行解g(x)=0,就表示这个约束条件起到作用了，这就表示g(x)与f(x)相切，也就是下图中右边的图。

【g(x)<0的情况】这种情况下，就是没有限制条件下的情况，其实就是没有约束条件的限制，也就是的情况，所以我们的等式就是直接求解：

【g(x)=0的情况】如果是g(x)=0的情况，那也就是约束条件起到作用了，也就意味着。在这种情况下，存在着:并且两个函数的扩张的方向相反，所以表明两个g(x)和f(x)的梯度一个是正数，一个是负数。所以这个表示。

所以综上所述，在这种情况下，我们所有的条件综合起来可以得到，其中就是最优解：

这三个就是KKT条件。