切线的证明方法（初中几何常见模型37）

【模型分析】

法一：运用判定定理是证明切线最常用的方法,即如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心得半径,只要证明这条半径与该直线垂直即可.这种方法可简单概括为:连半径,证垂直.

法二：当不明确直线与圆的交点个数或交点的位置时,可以经过圆心作直线的垂线,然后证明圆心到直线的距离等于圆的半径即可.这种方法可简单概括为:作垂线,证半径.

【经典例题】

解析：连接DE、OE、OD,可得△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，由此可求出扇形OBE的圆心角的度数和圆的半径长；由于∠AOE=∠BOD,则AB∥DE,S△ODE=S△BDE;根据阴影部分的面积=S扇形OAE一S△OAE+S扇形ODE求解即可。

点评：本题考查了扇形面积公式的运用。关键是将阴影部分面积转化为规则图形的面积的和或差。

解析：(1)连接OD.欲证明点E为的中点，只需BD证明∠DOC=∠BOC即可；

(2)若证明CD是⊙O的切线，需要证明∠ODC=90,即OD⊥CD;

(3)利用垂径定理推知△ADG和△ODG都是直角三角形，所以在这两个直角三角形中利用勾股定理来求线段DG的长度。

点评：本题综合考查了切线的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理。要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径)，再证垂直即可。

解析：(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°.(2)作CG⊥BF于点G,利用已知条件证得△AGC∽△ABF,利用比例式求得线段的长即可。

点评：本题考查了切线的判定、直径所对的圆周角、等腰三角形的性质、三角函数的定义、勾股定理，有一定的综合性，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键。