原函数存在定理证明（算术）

回顾

之前的文章中介绍了高斯在22岁的时候关于算术-几何平均数的一些研究，先回顾一下：

对两个正数a和b，计算它们的算术平均（a+b)/2和几何平均√ab,再计算两个新数的算术平均和几何平均，无限地进行下去，这个过程中两个数会趋于同一个极限，高斯将这个极限叫做a和b的算术-几何平均(Arithmetic-Geometric Mean)。记为AGM(a,b)。

用数学语言描述，就是:

对两个正数（不妨设0

然后，高斯发现了如下定理

这个表达式看起来还挺“美”的，如何证明呢？只是计算平均，最后的表达式中竟然会出现π，三角函数，还有积分，高斯为什么会想到这些看起来毫无关联的东西呢？？？

先回答第一个问题。

定理的证明

（这部分比较专业，有点复杂，不想了解证明细节的话可以跳过直接看第三部分，小编对这个证明的一些思考。）

我们知道，一旦正数a和b确定，则AGM(a,b)也就确定了。AGM(a,b)其实就是关于a和b的一个二元函数。显然，这个二元函数具有以下性质：

(0).非负性：AGM(a,b)>0

(1).对称性：AGM(a,b)=AGM(b,a)

(2).单调性：若a1≥a2>0,则AGM(a1,b)≥AGM(a2,b)

(3).不变性：AGM(a,b)=AGM(√ab,(a+b)/2)

(4).齐次性：对任意正数k,都有AGM(ka,kb)=k*AGM(a,b)

(5).其他性质（小编暂时没想出来）

非负性和对称性显然，单调性也不用说，最为关键的是不变性。这是AGM(a,b)的核心性质。想一想，为什么AGM(a,b)=AGM(√ab,(a+b)/2)？

很简单，因为以a,b为计算起点，第一步计算以后就得到√ab和(a+b)/2，然后是第二步，第三步，最后收敛到的AGM(a,b)既是a和b的算术-几何平均，当然也是每一步得到的an和bn的算术-几何平均。

现在回过头来看AGM(a,b)的表达式。如果我们能够证明，

那么由数学归纳法，对任意n都有

则令n趋于无穷，有an和bn趋于AGM(a,b),从而

现在问题就清晰了，只要证明

即可！

维基百科上面给了一个极其“简单”的证明：

对

只需作变量代换

则

得证！

。。。

。。。

还是别管这个证明方法，脚踏实地，一步步来吧。

碰到积不出来的三角函数的积分，一般思路是变量代换，将三角函数去掉，变成关于新变量的一些有理或无理函数的积分，比如常见的万能代换。有时候这个过程会也反过来。

第一步，作变量代换t=b tanθ,则

看起来更工整了，而且惊喜的是，a和b的对称性非常明显！之前的表达式中，a和b前面的系数一个是正弦，一个是余弦，看起来不那么对称。而新的表达式中，a和b的地位完全等同，完美地符合了“对称性”的要求。这就是在暗示我们，方向没错，这个代换有前途，可以继续。

于是问题就变成了证明

将左边右边展开，通过“两面夹”和试凑法，多次尝试，最后可发现：

作变量代换

证明完毕。

虽然过程稍显复杂，但其实并没有什么技术上的难度。说到底，这只是证明，而不是求解。

事实上，证明还可以更简单。由齐次性可知AGM(a,b)=a*AGM(1,b/a)。所以我们只需要研究1和其他数的算术几何平均，那么就知道任意两个数的算术几何平均了。。也就是，证明AGM(1,k)=AGM(√k,(1+k)/2)即可。

本来是求包含两个变量的函数，现在只包含一个变量，大大大大减小了难度。

这样又该如何证明呢？这个小问题留给你们了！

思考

第二个问题，我想除了高斯，谁也不知道。毕竟斯人已逝，而且高斯常说，“当一幢建筑物完成时,应该把脚手架拆除干净”。有数学家形容高斯“就像一只狐狸，用尾巴扫砂子来掩盖自己的足迹”。谁也不知道这个天才的思维轨迹。

小编不自量力，在此稍作揣摩，见笑大方了。

第一，看本质。高斯会分析这个算术-几何平均AGM(a,b)应该具有哪些性质。就是上面的几点，对称性，非负性，不变性，齐次性等等。当然，以高斯的眼光，肯定还能看到其他我没想到的性质。

第二，找规律。高斯当然会计算一些数的算术-几何平均。由齐次性，他只需要计算1和其他数的算术几何平均，比如说，

AGM(1,2)=1.4567910310469068692...

AGM(1,3)=1.8636167832448965424...

AGM(1,4)=2.2430285802876025701...

...

似乎没什么规律。杂乱无章，但“没有规律”也是一种规律，杂乱无章的数字，不由地让人想到，这是不是某个数的平方根，立方根？这个很容易检验。然后发现都不是。那会不会是超越数？最常见的超越数是π和e，那么结果会不是和这两个数有关？

第三，看前人。我想，高斯可能受到欧拉的启发。

1728年，数学爱好者哥德巴赫希望把阶乘推广到任意实数上，比如说，我们知道3!=1×2×3=6，5!=1×2×3×4×5=120，哥德巴赫想，1.4！=？π!=？这个数学爱好者对此一筹莫展，于是写信请教欧拉。欧拉经过研究，于1729年完美地解决了这个问题，他通过积分定义了一个新函数：

一举将阶乘函数推广到可以计算任意复数z的阶乘。这就是著名的伽马函数。

极其巧合的是，当时欧拉也是22岁。

欧拉

（备注：后来，出于某种考量，人们把被积函数中的x^z改成x^(z-1)，成为现在经典的伽马函数。文章这里写的是欧拉一开始的形式）

所以高斯也会尝试，用积分来定义这个他找不到初等形式的AGM(a,b)。

这样，高斯可能拿e试了试，发现不行，然后再试试会不会跟π有关。想到π，也就想到了三角函数。再联系函数所具有的性质，经过直觉和试探，最后高斯终于发现了AGM(a,b)的表达式。