组合恒等式证明（拉马努金恒等式）

-01-拉马努金恒等式

2016年4月8日在英国上映了一部名叫《知无涯者》的电影。电影讲述了印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金（1887.12.22~1920.4.26），

短暂而传奇的一生。拉马努金出生贫寒，没有受过专门的数学训练，但天资聪颖，完全靠自学。直到1913年，得到英国数学家哈代的赏识，他的数学才华大放异彩。但他不同于传统意义上数学家，他的成果往往是凭直觉得到，只有结论，而没有证明。他短暂的一生发现了3900条数学公式和命题，许多结果完全是新颖的、原始的和非传统的，但被后续证明他的结论都是正确的。

本文要介绍的这个恒等式，就是拉马努金流传最广的成果之一。先看这个恒等式的一边：

我相信大多数人能按照这个式子的规律接着写下去，但会发现这是无穷尽的，并且很好奇这个式子的结果到底是多少？

拉马努金说，这个式子的结果等于3。

他对形如上式的无穷二次根式，进行深入研究得到这个结果，并且将此发表在《印度数学会刊》上征集证明，数月内无人能应。

-02-拉马努金恒等式的数学逻辑

下面我们以今天中学生的认知来看其中的数学逻辑：

3=√9。。。。。一层根号

=√1+8

=√1+2x4

=√1+2√16。。。。二层根号

=√1+2√1+15

=√1+2√1+3x5

=√1+2√1+3√25。。三层根号

=√1+2√1+3√1+24

=√1+2√1+3√1+4x6

=√1+2√1+3√1+4√36。四层根号

。。。。。。

由此不难发现：将3拆分后，含n层根号时，3=

√1+2√1+。。。n√（n+2）²

。。。n层根号

验证一下，n=10时（由外向内数，含10层根号），壮观景象：

第10层根号里的数：

12²=144；

第9层根号里的数：

11²=121；

第8层根号里的数：

10²=100；

。。。

第3层根号里的数：

5²=25；

第2层根号里的数：

4²=144；

第1层根号里的数：

3²=9；

√9=3

理所当然是个恒等式。

-03-拉马努金恒等式的数学证明

问题来了，正整数3可以象这样用二次根式进行无穷拆分，那么其他正整数呢？他是怎么想到了呢？

平方差公式是初中代数中的最基本的公式之一：

a²-1=(a-1)(a+1)；

变形得

a²=1+(a-1)(a+1)；

即

a=√1+(a-1)(a+1)。

建立一个关于a的函数：

F（a）=a=√1+(a-1)(a+1)，则

F（a+1）=a+1

=√1+(a+1-1)(a+1+1)

=√1+a(a+2)

=√1+aF(a+2)，

F（a+2）=a+2

=√1+(a+2-1)(a+2+1)

=√1+(a+1)(a+3)

=√1+(a+1)F(a+3),

F（a+3）=a+3

=√1+(a+3-1)(a+3+1)

=√1+(a+2)(a+4)

=√1+(a+2)F(a+4)，

...

F（a+n）=a+n

=√1+(a+n-1)(a+n+1)

=√1+(a+n-1)F(a+n+1)，

...

通过层层嵌套，得到

F(a)=√1+(a-1)F(a+1)

=√1+(a-1)√1+aF(a+2)

=√1+(a-1)√1+a√1+(a+1)F(a+3)

...

=√1+(a-1)√1+a√1+(a+1)√1+(a+2)√1+。。。

即

其中，a为正整数。

当a=2时，得到

当a=3时，得到

当a=4时，得到

由此，可以把任意一个正整数，用二次根式有规律地无穷展开。

所以拉马努金恒等式，更一般的形式是：

-04-结语

利用平方差公式和函数嵌套（复合函数）的思想，可以来说明他的正确性。虽然初中不提函数嵌套（复合函数）这种说法，但“整体思想”已经具备其雏形，所以上述证明过程，数学程度稍好的同学也可以看懂。

拉马努金没有受过正规的高等数学教育，但他靠自学沉湎于数论，尤其钟爱涉及π、质数等数学常数的求和公式和整数分拆。特别是他对数的直觉（数感）常常令人称奇，以至于亦师亦友的哈代感叹说：“我们学习数学，拉马努金则发现并创造了数学。”