中位线的性质怎么证明（直角三角形斜边上的中线性质）

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我们在学习矩形时，有一个性质:“矩形的对角线相等且相互平分”。根据这一性质的推论得出:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”。

直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个共腰的等腰三角形，无论是作边的转化，还是作角的转化都十分便利，所以“遇直角三角形，想斜边上的中线”是作辅助线常用的思路。

今天我们就分享这个性质的在解题的作用和运用方法，还是先看例题吧。

例:已知，在如图所示的平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF丄AC,点O是垂足，EF分别交AB，CD于点E，F，BE=OE=½AE.求证:♢ABCD是矩形。

证明:如图，取AE的中点G，连接OG.在Rt△AOE中，OG=½AE=AG

OE=BE=½AE，

∴OE=OG=AG=BE.

∴∠1=∠2,∠3=∠4.

∴△AGO≌△BEO(SAS).

∴OA=OB.

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD.

∴♢ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)。

[题干分析]

本题的难点在于如何应用“BE=OE=½AE”这一条件，由EF丄AC，知△AOE为直角三角形，作AE上的中线OG，则OG=½AE=OE，余下的工作就是证AO=BO，问题即可解决。

[解题反思]

上题在解答时作的辅助线，就是充分利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，然后根据已知条件，通过边角转换，利用三角形的全等性质，得出对角线的一半相等，最后根据矩形的判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形，解决求证问题。

那么把直角三角形斜边上的中线性质进行拓展，得出3个延伸的解题思路:

⑴ 直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题也是真命题，即如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

⑵ 此性质与直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半都是证明线段倍分关系的重要依据，但后者只在特殊直角三角形中才有，而斜边上的中线等于斜边的一半适用于所有直角三角形，更具有一般性。

⑶ 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等。在直角三角形中出现中点，易从三角形中位线和斜边上的中线定理考虑即为解题思路。

所以，我们在解题时要准确把握图形特征，恰当地构造直角三角形斜上的中线，利用好以上性质，帮助我们更快解决综合题型。

今天的分享就到这里，欢迎大家在评论区留下您的思路，让我们共同讨论，也许您的方法是最棒的。喜欢文章记得分享哦！