泊松分布可加性证明（每天一点统计学）

泊松分布的定义

泊松概率分布是考虑在连续时间和空间单位上发生的随机事件的概率。通俗解释：基于过去的经验，预测该随机事件在新的同样长的时间或同样大的空间中发生N次的概率。泊松分布包括以下条件：

单独事件在给定区间内随机、独立地发生，给定区间可以是时间或空间，例如可以是一个星期，也可以是一公里；

已知该区间的事件平均发生次数，且为有限数值，该事件平均发生次数通常用希腊字母λ（lambda）表示。

泊松分布公式

某事件在给定区间内平均发生λ次，在求给定区间内发生r次事件的概率时，使用以下公式：

泊松分布公式

泊松分布公式用到了指数函数ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。

泊松分布公式的应用

已知某家小杂货店，平均每周售出2个水果罐头。请问该店水果罐头的最佳库存量是多少？

解：假定不存在季节因素，可以近似认为，这个问题满足以下三个条件：

（1）顾客购买水果罐头是小概率事件。

（2）购买水果罐头的顾客是独立的，不会互相影响。

（3）顾客购买水果罐头的概率是稳定的。

各个参数的含义：

P：每周销售r个罐头的概率；

X：水果罐头的销售变量；

r：每周销售罐头数的取值（0，1，2，3…）；

λ：每周水果罐头的平均销售量（数学期望），是一个常数，本题为2；

根据公式，计算得到每周销售不同数量罐头数的概率及累计概率：

从上表可见，如果存货4个罐头，95%的概率不会缺货（5%＝1/20，即平均19周发生一次）；如果存货5个罐头98%的概率不会缺货（2%＝1/50，即平均49周发生一次）。