泊松分布可加性证明（10分钟了解泊松分布）

什么是泊松分布？

当一个事件的发生满足以下条件时，可以认为这个事件在某一固定时间段内的发生次数满足柏松分布。

总结起来就是，事件的发生是随机且独立的。

泊松分布的概率质量函数：

x表示一段时间内事件发生的次数，λ表示一段时间内事件发生的平均次数。

举个例子：

假设某媒体平台一天的用户广告转化数平均为1次，每天的广告转化数就满足泊松分布。

那么根据泊松分布，我们想知道该媒体平台每周广告转化数为10次的概率，应该怎么算？

首先，固定时间由一天增加到一周，一周的平均点击则为7次，泊松分布的λ为7，要求转化数为10次的概率，泊松分布的概率质量函数的输入x为10，代入公式可以求出:

可以得出该媒体每周广告的转化数为10次的概率为0.070983。

根据上例，将时间考虑进泊松分布的概率质量函数，可以得到：

x表示单位时间内事件发生的次数，λ表示单位时间内事件发生的平均次数，t表示t个单位时间，N(t)表示关于时间的某种函数。

泊松分布与二项分布的关系

回顾二项分布的概率质量函数：

我们依然拿上面举的例子来探索泊松分布与二项分布的关系。

假设某媒体平台一天的用户广告转化数平均为1次，一天广告点击的次数平均为1000次，那么广告的点击转化率为0.1%，我们现在根据二项分布来计算，该媒体平台每周广告转化数为10次的概率。

首先，时间范围是一周，那么一周的广告的平均点击数为7000次，广告的点击转化率依然是0.1%不会随时间变化而改变，那么将n为7000，x为10，p为0.1%代入二项分布的概率质量函数求出：

可以看出该媒体每周广告的转化数为10次的概率为0.070988。对比上面利用泊松分布的公式计算的值，发现二者值非常的接近，这是一种巧合还是一种必然？下面我们从二项分布的概率质量函数着手，由于二项分布中λ=np，将p=λ/n代入看看能有什么发现。

当n趋近于正无穷时，

惊奇的发现当n趋于正无穷时，二项分布的概率质量函数和泊松分布的概率质量函数相同。看来在例子中的结果非常接近不是巧合。所以我们可以利用泊松分布来估算二项分布。这样做的原因主要有两个：

泊松分布与指数分布的关系

指数分布针对两个事件发生的时间间隔，与泊松分布不同，泊松分布是离散型分布，指数分布是连续型分布。如果单位时间内事件的发生次数满足泊松分布，那么事件发生的时间间隔满足指数分布。指数分布的概率密度函数是：

概率分布函数则为：

λ表示单位时间内事件发生的平均次数，t表示t个单位时间。

可以从泊松分布来理解指数分布。对于泊松分布，t时间内事件发生次数为0的概率为：

t时间内事件发生次数为0的另外一种理解可以是，事件第一次发生的时间T要大于t。

即

那么事件在t时间内发生的概率为：

与指数分布的概率分布函数保持一致。

同一个例子，假设某媒体平台一天的用户广告转化数平均为1次，我们想知道该媒体平台在第2天到5天内完成一次转化的概率，就可以根据指数分布来计算。

首先，一天内的平均转化数为1，则λ为1。要在第2天与第5天之间完成一次转化，利用P(T<= 5) - P(T<= 2)来计算概率，得：