如何证明线性变换（用上傅里叶变换）

边策 明敏 发自 凹非寺 量子位 报道 | 公众号 QbitAI

最近的气温真是忽高忽高、让人琢磨不定，但所幸天气预报都还很准确，没有和大家开玩笑。

不过，你知道这些准确的气温预测，是通过解方程算出来的吗？

不仅如此，靠解方程还能模拟飞机空气动力、疾病传播模型！

是什么方程这么厉害？我学过吗？

它就是偏微分方程（PDE），在我们的世界中无处不在。

但在实际应用中，用计算机求解偏微分方程的难度很大，往往为了求出一个解而需要大型机器运行一个月。

并且，随着科研中遇到问题的复杂度、运算量逐渐增加，也就更需要高效快速的求解方法。

最近，来自加州理工大学的一个研究团队就用AI来解决这一难题，他们开发了一种新的神经网络，比传统的PDE求解快几个数量级，并且在理论上适用于任何偏微分方程。

甚至连流体力学里的“老大难”：N-S方程也不在话下！

对于简单方程的求解，这种方法只需几秒就能解出答案，而传统方法需要18个小时！

训练神经网络=求解PDE

神经网络的本质是逼近一个函数，函数是从一个变量到另一个变量的映射。

比如图像识别网络，就是把输入的图像数据，与最后的分类结果之间建立映射关系。

训练神经网络其实就是尽可能逼近这个函数，这和数值求解PDE本质是一样的。

2016年，人们开始研究图像识别神经网络如何用于求解PDE，用成对的生成数据来训练神经网络，比如计算平面上不同基本形状（如三角形、四边形）物体周围的空气流速场。

训练数据集的输入是物体几何形状和的初始条件信息，输出是相应的二维几何物体。训练过程等于建立输入和输出之间的相关性。

训练后的神经网络，可以用于预测其他情况（比如汽车形状）的流速场，它只和与传统数值求解器的结果略有不同，但求解速度更快。

然而，对于专门研究PDE的人来说，这种方法还远远不够。

因为上面的方法精度一般达不到要求，如果想要实现更高的精度，所需的数据量和网络大小将爆炸式增长，失去了原本快速求解的意义。

从函数到算子

所以，人们想到了一种新方法，求助于“算子”。算子是一种从函数到函数的映射。

函数：数→数算子：函数→函数

比如，正弦算子(sin)把线性函数x变成三角函数sinx，微分（求导）算子(d/dx)把三次函数x³变成二次函数3x²。

2019年，来自布朗大学和中科院的学者开发了一种“深度算子网络”（DeepONet），就是用算子的方法求解PDE。

DeepONet的特殊之处在于其分叉架构，它以两个并行网络处理数据，一个是“分支”和一个“主干”。

“分支网络”学习生成算子，也就是对输入端函数进行近似，“主干网络”负责对输出端函数进行同样操作。然后，DeepONet结合两个网络的输出，得到PDE的解。

虽然DeepONet相比PDE数值求解器速度惊人，但是它需要在训练期间进行密集计算。当必须使用大量数据训练使算子越来越精确时，可能会存在问题。

那么神经算子能加速PDE求解吗？

傅里叶变换

后来，加州理工大学与普渡大学的团队，开发了另一种新的方法——“傅里叶神经算子”（FNO）。

FNO比DeepONet在计算上要更加简单，因为DeepONet还要浅层网络去近似模拟算子，而FNO有现成的方法可用，就是傅里叶变换。

有些音乐软件显示的频谱图，其实就是一种傅里叶变换，它把连续变化声音信号转换到频率空间中。

经过傅里叶变换，原来函数之间的卷积，在频率空间中变成了更简单的乘积。

FNO的核心是傅里叶层。

傅里叶层会在训练数据推送到神经网络的单层之前，对其进行傅里叶变换，然后用一个线性变换R过滤掉其中的高频部分，再通过傅里叶逆变换的得到原空间的函数。

FNO可以显著提高求解PDE的速度。在一个求解NS方程的例子中，需要3万次模拟，FNO求解时间不到一秒，DeepONet耗时2.5秒，而在这种情况下，传统的求解器需要18个小时。

团队介绍

该研究的第一作者是Zongyi Li，是加州理工计算机和数学系的一名博士二年级学生。研究方向为机器学习、理论计算机科学和应用数学。

他的导师是英伟达著名女科学家Anima Anandkumar。

作为AI界的风云女性，Anima不仅在研究成果上战绩斐然，在学术圈也是怼天怼地。

此前，她曾在博客公开喊话，强烈反对发论文不给代码行为，呼吁学术会议强制要求投稿同时必须公开代码，以对造假论文进行追责、利于行业公平竞争。

并且为了对抗AI学术界对女性的歧视和调侃，她曾在Twitter上大战LeCun。以一己之力让顶级学术会议NIPS改了名字，避免了女性参会者的尴尬。

Anima希望学术界更关注女性的学术成就，而不是长相。当有人在她的讲座视频下夸她漂亮时，她的做法是——删评。

参考链接：[1]https://www.quantamagazine.org/new-neural-networks-solve-hardest-equations-faster-than-ever-20210419/[2]https://arxiv.org/abs/2010.08895[3]https://arxiv.org/abs/1910.03193[4]https://github.com/zongyi-li/fourier_neural_operator

— 完 —

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