如何证明线性变换（线性代数应该这样学）

昨天没有更新，原因如上图。

好的颓完了，我们继续学习线性代数。

每当这张图出现，就意味着我要搞事情​。

言归正传，我们来看关于零空间和值域的一些定理，今天很硬核哦！

2.12关于线性映射的值域和目标空间的关系

关于线性映射和目标空间的关系我们很容易想当然地认为，这二者是一个东西，因为我们有过函数的经历，从函数的经历我们可以得到，定义域经过对应法则得到的函数可以取得值不就是值域嘛。实际上在向量这里这就不完全成立了哦！为什么呢？我们接下来细细分析。

先说结论：线性映射的值域是目标空间的子空间。

怎么证明？

我们复习一下怎么证明子空间，哦！要证明哪三个？“一元两封闭”，即，加法单位元存在、对加法封闭以及对乘法封闭。

证明过程如下：

回顾一下​，要记住这种方法哦！以后还会有关于子空间的证明。

2.13满

我们之前提到过一种感受，就是认为目标空间等于值域，实际上这种现象也非常值得研究，在数学上我们把这样的一种情况叫作“满”，顾名思义，就是值域充满了目标空间。

我们之前学过的微分映射是满的，但是X^2乘这样的映射就不是满的，其余的几个大家可以自行验证一下，也欢迎私信我向我提问。

2.14重要定理

没错，我给这个定理取名字就叫作重要定理，因为这个定理几乎是这一章最重要的内容。我们回顾一下我们的学习过程，似乎很多时候证明和定性分析是我们的重点，少有计算的公式，这对于从小到大注重数学的“算术”功能的我们还是有些不太适应的，那么好，现在我们开始介绍一个有“计算”功能的定理，我们就叫它“重要定理”吧。

用语言表示，就是零空间的维数加上值域的​维数等于定义域的维数。

怎么证明？

向量空间的事情，肯定和基有关，在上一章涉及向量空间的很多证明中我们都是通过各个向量空间基之间的关系来证明向量空间之间的一些关系。所以这次我们也需要“扩充”出一个基来。

这两步变换中零空间的基因为是0就不用管了，然后我们通过说明rangeT可以由一个线性无关组来张成，说明rangeT是有限维的（证明有限维就是通过证明它可以被一个组张成，组的元素是有限的，那么向量空间也是。）

证明的第三部分，​通过先假设有两种表示，然后再证明这两种表示是同一个的方法（我们叫它“同一法”）来说明系数都为0，来得到线性无关的结论。

2.15两个推论

推论一：现在我们可以证明，从一个有限维向量空间到比它更小的向量空间的线性映射不可能是单的,这里“更小”是用维数来衡量的。

我们转换成数学语言：

如果V和W都是有限维向量空间，并且dimV >dimW,那么V到W的线性映射一定不是单的.

证明:假设V和W都是有限维向量空间，并且dimV >dimW.对于T∈L(V,W);则把

dim nullT= dimV - dim range T这个式子放缩一下得到：

dim nullT= dimV - dim range T≥dimV-dimW> 0（利用了值域包含于目标空间的不等式）

这就证明了dimmullT> 0,即nullT必须包含非零向量。因此T不是单的(由3.2)。

推论二：推论二在某种意义上是推论一的对偶，它表明从一个有限维向量空间到比它更大的向量空间的线性映射不可能是满的，这里“更大”是用维数来衡量的。

同样转换一下：

如果V和W都是有限维向量空间，并且dimV

证明:假设V和W都是有限维向量空间，并且dimV

dim rangeT = dimV - dim nullT≤dimV< dim W

这就证明了dimrangeT < dimW,即rangeT不等于W因此T不足满的。

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