证明角相等的方法（几何原本）

这一讲，我们继续《几何原本》第6卷“相似图形”中命题5的学习。该命题证明了如下结论:

如果两个三角形对应边成比例，那么这两个三角形对应角相等。

以下是《几何原本》中命题5的证明过程:

命题5:若两个三角形的边成比例，那么这两个三角形的各角对应相等，对应边所对的角相等。

已知ABC与DEF是边成比例的两个三角形，即AB比BC等于DE比EF，BC比CA等于EF比FD，BA比AC等于ED比DF。

目标:证明三角形ABC与三角形DEF的各角对应相等，且对应边所对的角相等，即角ABC等于角DEF，角BCA等于角EFD，角BAC等于角EDF。

证明:

1、在线段EF上的点EF处分别作角FEG等于角ABC，角EFG等于ACB【第1卷 命题23】，于是余下的A点的角与G点的角是相等的【第1卷 命题32】。因此，三角形ABC与三角形GEF的各角对应相等。

2、所以，三角形ABC与三角形EGF夹等角的边成比例，且对着等角的边是对应边【第6卷 命题4】，因此，AB比BC等于GE比EF。

3、又AB比BC等于DE比EF，所以DE比EF等于GE比EF【第5卷 命题11】，即DE、GE与EF的比是相同的，所以DE等于GE【第5卷 命题9】。

说明:该步骤运用了第5卷命题9、命题11的结论，用现代的数学语言表述如下:

命题9:如果A/C=B/C，那么会有A等于B:如果C/A=C/B，那么会有A等于B。

命题11:A/B=C/D，C/D=E/F，那么A/B=E/F。

4、同理，DF等于GF。

5、因为DE等于EG，EF为共同的边，边DE、EF分别等于边GE、EF，底DF等于底FG，因此角DEF等于角GEF【第1卷 命题8】。

6、所以三角形DEF全等于三角形GEF【第1卷 命题4】，因此，角DFE等于角GFE，角EDF等于角EGF。又因为角FED等于角GEF，角GEF等于角ABC，因此，角ABC也等于角DEF。

7、同理，角ACB也等于角DFE，A点的角等于D点的角。

8、因此，三角形ABC与三角形DEF的各角对应相等。

9、综上，若两个三角形的边成比例，那么这两个三角形的各角对应相等，对应边所对的角相等。

好了，这一讲就到这里了。

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