向量证明余弦定理（2020年高考数学江苏卷13题惹争议）

2020年高考结束已经一周，“几家欢喜几家愁”是必然现象，超常发挥的同学自然欣喜，不管怎样，超常发挥也首先要有实力才能够超常得了。对于2020年高考数学江苏卷的第13题，不少同学非常担忧，因为江苏教育考试院官方公布的答案为2个，而不少同学因为各自的一些原因，舍掉或者漏掉了一个答案，尤其是舍掉一个答案的同学，因为是有依据地舍的，担忧最终的评卷标准到底会不会给分。

我们先来看看这道真题，算是2020年高考数学江苏卷的2道填空压轴题之一吧，不妨先看看3种不同角度下的方法。

一、真题展示

这是一道向量题，给出了特殊几何关系(垂直)、两个相关长度、一个参数向量等式，求长度。

二、方法解析

从不同角度着手，就有不同的方法，这里解析3种经典好方法。

1、平面向量共线定理的推论+余弦定理：

由题目，向量PD与PA共线，于是可设向量PD=λPA。

结合已知条件的参数向量等式，向量PD=系数×PB+系数×PC，且B、D、C共线，由平面向量共线定理的推论可知：系数和=1，求出λ，从而得出AD长度。

然后，在三角形ACD中，由余弦定理建立关于CD长度方程，即可解出CD长度。

上面主要运用了平面向量共线定理的推论，另外运用了三角函数中的余弦定理，通过解三角形的方法来求CD长度。

所以对于解较为复杂的题，大家不要一味地局限在一个知识板块内，综合运用不同板块的知识点，能够更好更快地解决问题。当然，灵活地、恰到好处地综合调用基础知识点，首先需要大家把所有基础知识点都掌握牢固、透彻，不牢固不透彻甚至还似是而非，又谈何综合运用？

2、常规通法之基底法：

对于向量问题，基底法是一种广泛通用的常规好方法。对于怎样选择基底，注意结合题目，以运算简洁为目的。

本题AB、AC长度已知，并且相互垂直，天然好基底啊！

以向量BA、CA为基底，通过向量运算关系，以向量PA、基底代换已知条件的参数向量等式中的向量PB、PC，于是向量PA以纯基底表示。

而PA、基底的长度全知道，基底又相互垂直，于是平方即可解出参数向量等式中的参数m。

特别注意，m=0时，C、D重合，CD长度为0。

m≠0时，向量PA、DA共线，于是可设向量PA=λDA。

向量DA同样用纯基底表示出来，于是由PA=λDA，基底系数相等，得关于λ、CD长度的二元方程组，解方程组即可得m≠0时的CD长度。

基底法是纯向量的方法，而与此相对应，就有下面的坐标法。

3、坐标法——向量运算的坐标表示：

AB、AC长度已知，并且相互垂直，这不但是基底的好标识，而且也是平面直角坐标系的好标识。

于是以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，B、C坐标已知，设P(x，y)，则已知条件的参数向量等式用坐标表示，横坐标、纵坐标分别相等，解关于x、y的二元一次方程组，得点P的关于参数m的坐标，用PA长度解出m。

同样，特别注意，m=0时，C、D重合，CD长度为0。

m≠0时，联立直线AP、BC方程求出点D的坐标，两点距离公式即得CD长度。

向量运算的坐标表示，实际上就是以解析几何的坐标化的方法研究向量问题。

三、方法小结

对于较为复杂的向量问题，恰到好处地选择方法会减少计算量，达到事半功倍的效果。

1、注意熟练掌握好所有基础知识点，有些教材上所没有的重要推论也要注意补充学习和掌握好，比如方法一中的平面向量共线定理的推论，作为补充讲解，在历年高考真题中用到过很多次了。

2、注意在做较为复杂的以某一板块内容为主体和载体的题目时，思维不要总局限在这一板块之内，恰到好处地灵活运用其它板块的知识，又能够事半功倍。

3、对于各知识板块的常规通法，一定要掌握得炉火纯青，像上面这题，无论是基底法，还是坐标法，都是向量这一知识板块中重中之重，而又常规通用的基础方法。如果基础常规通用方法掌握的火候都还很欠缺，那么在高考中遇到上面这种相对复杂一些的题目时，又怎么吃下这分呢？

四、关于争议

对于上面这道高考题，一些同学可能运用了“投机”的方法(甚至有同学用刻度尺量出了3.6这个答案)只得出一个答案。

但是，还有一些同学是算对了两个答案，仅仅是因为对于“CD的长度”这几个字的理解，而舍去了0这个答案。

他们的观点是：既然它说的是“CD的长度”，表示的就应该是线段CD，而不是一个点的长度，根据线段的长度不能为0，于是舍去0。

对于这个观点，我个人认为不妥，因为在学了高中解析几何、立体几何，我们就知道：

点到直线的距离、点到平面的距离，可以为零，即点在直线上、点在平面内，也即点与直线上的一点重合、点与平面内的一点重合。

同样地，点到点的距离(即长度)，也可以为零，即点与点重合，上面的题目中并没有写“线段”二字，所以“CD的长度”不一定是线段的长度，0不应舍去，即CD的长度为0或18/5。

当然，对于江苏教育考试院最终的评分标准，还是希望对2020年高考的同学们大家都有利。我这主要是对以后高考的同学说的，需要注意，学了高中相应阶段的知识后，就不要以以前初中的标准来判断问题了。