帕普斯定理证明（三种方法计算圆台的体积）

这是一个广口玻璃水杯，装满有多少毫升水呢？简单测量一下：请看下图(单位：厘米)

水杯是个圆台，开口处的大圆半径是4.1，杯底的小圆半径是2.35，母线AC=8，求杯子的容积是多少毫升？

解法一

我们可以把圆台看作一个大圆锥截去一个小圆锥后的剩余部分。如图，把大小两个圆锥的截面画出来，求出圆锥的高，求出两个圆锥的体积，再做减法就得到圆台的体积了。

作一条辅助线，利用相似三角形对应线段成比例就求出高。

这个方法容易理解，值得推荐。

解法二

帕普斯定理适合计算旋转体的体积。简而言之，定理说，形成旋转体的基本图形的面积乘以这个图形的重心旋转一周所经过的距离的乘积就是旋转体的体积。

难度在于计算重心旋转一周的轨迹的长度计算。计算圆周长的关键在于半径，半径恰好等于重心到旋转轴的距离。

直角三角形的重心到旋转轴的距离恰好是另一条直角边的三分之一。

计算圆柱的体积非常简单。

这个方法的精髓在于把直角梯形分为两部分，先分别计算，最后求和得到答案。

这样就化繁为简，降低了题目的难度。

解法三

公式法方便快捷。只要事先做好相关数据的准备工作，套公式计算就万事大吉。

用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。

圆台体积公式：

V=[S+S′+√(SS′)]h÷3

=πh(R^2+Rr+r^2)/3。

计算圆台体积比较麻烦，希望大家都能坚持到底，过程细心不犯错，一鼓作气取得成功。