帕普斯定理证明（用面积关系解几何题）

本文分为三个部分：首先从“几何无王者之路”谈起，接下来我们一起攻克《几何原本》中的两个难关（第五命题和命题47），最后是本文的精华，张景中先生发表于自然杂志1992年01期数林撷英专栏文章：欧几里得欠下的一笔老债。

北师大版六年级数学下册全解截图

从“几何无王者之道”谈起

在古希腊的各门科学中，几何享有尊贵的地位。英文Geometry一词,是从希腊语演变而来的,其原意是土地测量、后被我国明朝的徐光启翻译成"几何学"。几何从诞生开始，就与土地测量和面积计算有密切关系。当时的希腊学者具有以几何化的方式秩序井然地思考问题的习惯。

“神早已把万物几何化了”，这是柏拉图哲学的根本思考方法。

公元前387年，对雅典政治彻底失望的柏拉图在雅典城外西北郊的阿卡德穆园林创立了自己的学园——后世称之为“柏拉图学园”（Platonic Academy），他在新成立的学园的入口处留下赫然禁令:

Aγεωμετρητοç μηδειç εισíτω！

不懂几何者莫入！

——李轻舟《德尔斐的囚徒》

欧几里得搜集整理古希腊数学成果，进行加工和再创造，留下一部经典著作《几何原本》，成为流芳百世的权威教科书，对西方科学的发展影响深远。

欧几里得的《几何原本》在科学和教育这两个领域都获得了成功，二千多年来历久不衰。它把生动直观的图形与严密的论证结合起来，从定义、公理、公设出发，推导出了465个定理。它为学习者提供了从易到难的各种难度的习题，激发起学生的高度兴趣，甚至产生如痴如醉的感觉，这是其它任何课程都无法比拟的。

但是，珍贵的遗产同时又是沉重的负担。以欧氏几何体系为主的中学初等几何成为了学习路上的一只拦路虎。“几何几何，叉叉角角。老师难教，学生难学。”

话说当年，古埃及有一位叫托勒密的国王，曾向欧几里得学习几何。国王被一连串的公理、定义和定理搞得头昏脑胀，便向欧几里得请求道：“亲爱的欧几里得先生，能不能把您的几何弄得简单一些呢？”

这位伟大的数学家和教育家严肃地回答说：“几何无王者之路！”

这个故事可以从正反两面来解读。虽然说《几何原本》对初学者不友好，但是它是训练数学家的极好的教材。称之为“智慧的磨刀石”或者“脑力运动的体操”都不为过。即使以后不当数学家，也能够为你在其它领域的成功奠定思维训练的基础。

举个例子，牛顿曾经花大力气钻研过《几何原本》，掌握得滚瓜烂熟，运用得炉火纯青，从中获益匪浅。在牛顿的煌煌巨著《自然哲学之数学原理》中，看得到欧几里得的影子。

孟加拉国数学家钱德拉在晚年时期研读过牛顿的《原理》。他读到一个命题，先不看牛顿的证明，试图用自己的方法去证明。证明完了再对比牛顿的证明。

钱德拉发现，虽然自己比牛顿有300年后见之明的优势，但是牛顿的证明比自己更高明。（在17世纪《原理》出版的时候，当时的数学家读起来是读不懂，不明觉厉的感觉。）

但是，据说数学家在300万人中才出一个。绝大多数学生都是普通人，国王的请求超过了欧几里得的能力，有两千几百年后见之明的我们，能不能满足国王的请求，为普通学生再创造一套易学易懂，有章可循的几何教材呢？

先别急，下一个单元我们来攻克两个难关，算是热身运动。活动开了，我们再看张景中先生的新概念几何。

攻克两个难关

先看第一个难关：驴桥定理。这是《几何原本》的第五命题，可以简称为等边对等角。今天的同学们都知道三角形中，大边对大角，小边对小角，等边对等角，这个问题对当年的大学生而言，可是一个伤脑筋的难题。

接下来，我们来攻克笨蛋的难关。

大约公元前三百年左右，欧几里得应邀到埃及的文化中心亚历山大城任教。在那里，他将丰富多采而又有些杂乱无章的希腊几何材料加以归纳整理，置于一个严密的演绎体系之中，写成一部十三卷的巨著《几何原本》。

欧氏几何的基本精神就是从尽可能少的前提出发推出尽可能多的结果。《几何原本》开头给出了36个定义，5个公设和5个定理。由此推出全部希腊几何命题。

欧氏几何虽然较早地传入欧洲，但在中世纪的欧洲，科学沦为宗教的婢女，远落后于中国。数学在学校里没有地位。十三世纪，一位英国学者说，牛津大学的学生，能细心研读《几何原本》第1卷第4命题以后各命题的寥寥无几。第5命题被大学生们称为“笨蛋的难关”。

第5命题是“等腰三角形两底角必相等。”这个命题在我们的几何课本里，是通过作顶角的平分线来证明的。但《几何原本》中，作角平分线的命题排在第5命题之后。按逻辑顺序只能用定义，公设、公理和前四个命题来证明第5命题。

排列在第5命题之前的公设、公理和可引用的命题如下：

公设

1. 从任一点到任一点作直线［是可能的］.

2. 把有限直线不断循直线延长［是可能的］3. 以任一点为中心和任一距离［为半径］作一圆［是可能的］.

4. 所有直角彼此相等。

5. 若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

公理

1. 跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。

2. 等量加等量，总量仍相等。

3. 等量减等量，余量仍相等。

4. 彼此重合的东西是相等的。

5. 整体大于部分。

公设和公理的区别在于，公理是适合于一切科学的真理，而公设只应用于几何。

命题2 过一已知点（作为一个端点）作一线段，使之等于一已给线段。

命题4 若两个三角形的两边和夹角对应相等，它们就全等。

下面让我们运用这些公设、公理和命题攻克笨蛋的难关。

已知： △ABC 中 AB = AC .

求证：∠B = ∠C .

证明：如图8。延长 AB （公设2)，在 AB 延长线上任取一点 F ，延长 AC ，以 C 为端点在 AC 延长线上截取 CG = BF （命题2)，连接 FC 、 GB （公设1).

在△ AFC 与 △AGB 中，

AF = AB + BF = AC + CG =AG （公理2),

AC = AB , ∠A = ∠A ,

∴△AFC≌△AGB （命题4)，

即△ AFC 与△ AGB 可以相重合.

∴∠ACF=∠ABG , FC = GB , ∠F = ∠G ．

在△CBF 与△BCG 中，

BF = CG , FC = GB , ∠F = ∠G ,

∴△CBF≌△BCG （命题4),

∴∠1=∠2.

∴∠ABG -∠1= ∠ACF -∠2（公理3).

⇒∠ABC = ∠ACB .

证毕.

欧几里得之后500年，亚历山大晚期的数学家帕普斯给出的证明更加巧妙而简捷，他把所给三角形看作△ABC 和△ACB “两个”三角

形。

证明：在△ABC 和△ACB 中，

AB = AC , ∠A=∠A , AC = AB ,

∴△АВС≌△АСВ

⇒∠B=∠C .

证毕.

关于欧几里得的生平，我们知道得很少很少。但是这部《几何原本》就足以使他不朽。目前我国中学几何教材大体上仍是欧几里得的体系。

在十九世纪急风暴雨般的数学革命中，古老的欧几里得几何也得到了革命性的改造。

站在现代水平上看《几何原本》，它的公理体系并不完备，以至于在证题中，欧几里得常求助于图形的直观。

伟大的德国数学家希尔伯特（1862-1943)，用近代观点重建欧氏几何的公理体系。1899年希尔伯特出版了他的名著《几何基础》。至此欧氏几何可以说是天衣无缝了。

课堂练习：

证明希尔伯特的定理45:“任意一个三角形 ABC 和某一个等底边而半高线的平行四边形剖分相等。”

所谓“剖分相等”是指两个简单的多边形都能分割成有限多个三角形，而这些三角形成对的互相合同。

解：按题意只需找到一个与△ABC等底半高的平行四边形，满足剖分相等。如图所示，分别取AC、BC中点D、E。连DE并延长至F，使EF=DE。连BF。则△ABC与平行四边形ABFD剖分相等。

接下来请看第二个难关：跳舞的正方形和欧几里得的风车。

如图所示，求证勾股定理。勾股定理被誉为“几何学的瑰宝”，欧几里得的证明别具韵味。

欧几里得的证明从图形上看，首先映入眼帘的是三个跳舞的正方形，它们围成了一个直角三角形。接下来是欧几里得作的五条辅助线，构成了欧几里得的风车。

欧几里得的证明思路是证明图中两种图案的阴影面积对应相等。

如图所示，第一组阴影面积对应相等。图上还有两条辅助线没有作，请大家自行脑补，同理可证明第二组阴影面积对应相等。

可以看出，欧几里得的解题工具是全等三角形。按照巧妙安排的出场顺序，勾股定理是第47个命题，逆定理也成立，是第48个命题。

关于欧几里得的证明的全部细节，请看下面的链接：https://m.toutiao.com/is/FT5WtxU/?=从风车到欧几里得定理 - 今日头条

勾股定理有没有简单易懂的证明？当然有，请看下图：

上图的四个全等直角三角形可以移动到下图的位置，于是证明了勾股定理。顺便说一下，短直角边称为勾，对应图上的尼古拉，长直角边称为股，对应图上的阿历克西，斜边称为弦。

这个证明可以制作为玩具，自己动手操作，很直观。

欧几里得欠下的一笔老债

如何再创造一套适应时代要求的几何新教材？这个问题从1975年开始，就在张景中先生的脑海中萦绕。

欧几里得体系的不足令人遗憾，但是不能责备古人。三角法的出现比欧几里得晚几百年，代数里的字母运算，是在欧几里得之后一千多年才出现，欧几里得更不知道实数。所以，赤手空拳对付面前一堆资料的欧几里得，说句公道话，他的工作干得非常出色了，为我们留下了珍贵的遗产。

为了让广大中学生容易继承这份遗产，学好几何，张景中先生通过几十年的努力，作出了精彩的回答。

本单元的小标题就是张景中先生1992年发表的自然杂志专栏文章。后来，还出版了《新概念几何》，《从数学教育到教育数学》，《一线串通的初等数学》，

《面积关系帮你解题》（1982年12月，上海教育出版社）等著作。这几本书形成了一个新体系，提供了新的通用解题工具。也是对以二千多年的后见之明，对国王的请求作出的精彩回答。

《一线串通的初等数学》提到以前的中学数学分为几何，代数和三角共三门课程。三者之间的顺序如何安排，怎样衔接，书中进行了深入探讨。

好了，请大家欣赏精彩的数学讲座。

不算点p，共有6对共边三角形；算上点p，有18对之多

后来作者想到一个更简单的证明：在直线AB上取一点N，使MN=AB，这个辅助点证法适用于四种情形。

在《从数学教育到教育数学》书中第65页，给出了例题1的更简单的证明。

参考书目：

全文完。