泊松分布证明（Python数据分析）

主要内容：

一、什么是泊松分布

二、用Python解决实际问题

三、泊松分布的形态变化

泊松分布以法国数学家泊松命名，他在1837年出版了一篇关于泊松分布的论文。

一、什么是泊松分布

泊松分布通常是与固定时间或空间间隔内的计数相关的离散分布。比如：

在这两个例子中，每周、每月、每1000米对应着固定的时间或空间，而三篇文章、健身七次、20辆车则对应着在固定时间或空间中的计数。泊松分布描述了在类似情境下不同计数的发生概率。

泊松分布对应的概率密度函数为：

在这里，λ就是我们前边提到的固定时间或空间内的计数的均值，或者叫期望，同时，它还是泊松分布的方差。有了概率密度函数之后，剩下的就是计算了，而计算工作交给计算机来完成再好不过。

在实际生活中，泊松分布的应用面非常广，比如在交通规划中，我们需要判断一个小时内经过某路口的车辆有多少；在地铁站中，我们想知道一个小时内的客流量有多大可能会超出承载能力；在网站运维中，我们要弄清楚流量的峰值可能会是多少，有多大概率会发生这种情况等等。

那么接下来，我们就来看一下它是如何解决实际问题的。

二、用Python解决实际问题

我们先写一个poison_pdf(lamb, k)函数，计算期望为lamb的泊松分布中，刚好计数为k的概率是多少；然后写一个poison_pdf(lamb, k)函数，计算期望为lamb的泊松分布中，计数≤k的概率是多少。

from math import exp, factorial
# 概率密度函数
def poison_pdf(lamb, k):
 return lamb ** k * exp(-lamb) / factorial(k)
 
# 累计分布函数
def poison_cdf(lamb, k):
 return sum([poison_pdf(lamb, i) for i in range(k+1)])

好，接下来我们来回答刚才的第一个问题：我平均每周写三篇文章，下周我会写几篇？

s = ('一周刚好写{0}篇文章的概率为{1:.2f}%，'
 '写不超过{2}篇文章的概率为{3:.2f}%')
for i in range(11):
 print(s.format(i, poison_pdf(3, i) * 100,
 i, poison_cdf(3, i) * 100))

可以看到，我下周有90%+的概率会写不超过5篇文章。但是这样看起来不够直观，我们把它画出来看一下：

import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
from matplotlib.ticker import FuncFormatter
sns.set(style='white')
mpl.rcParams['font.family'] = 'sans-serif'
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = 'WenQuanYi Micro Hei'
# 用来将坐标轴数字转换成百分比
def to_percent(tmp, position):
 return '{0:.1f}%'.format(tmp * 100)
# 计算概率密度和累积概率密度
k = list(range(11))
pdf = [poison_pdf(3, i) for i in range(11)]
cdf = [poison_cdf(3, i) for i in range(11)]
# 绘制概率密度条形图
fig, ax1 = plt.subplots(figsize=(10, 6))
ax1.bar(k, pdf, color='c')
ax1.set_ylabel('概率', fontsize=16)
ax1.yaxis.set_major_formatter(FuncFormatter(to_percent))
# 绘制累积概率密度曲线
ax2 = ax1.twinx()
ax2.plot(k, cdf, '-r')
ax2.set_ylabel('累积概率', fontsize=16)
ax2.yaxis.set_major_formatter(FuncFormatter(to_percent))
# 设置标题
plt.title('我一周会写几篇文章？', fontsize=20)

这样，看起来就直观多了，我大概率下周会写5篇以内（含）。在下边的作图过程中，我们做了一些细节的调整，这些内容在我之前的文章中都有提到，如果不清楚或者忘记了，可以回去看一下《从零开始学Python可视化》、《一天一图学Python可视化》、《7天学会Python最佳可视化工具Seaborn》三个系列，它们的阅读顺序不分先后，可以随意调整顺序。

三、泊松分布随着λ增大的形态变化

接下来，我们看一下，随着λ的逐渐变大，其概率密度函数的形态会发生什么变化。

import numpy as np
xs = np.arange(21)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(16, 10))
for i in range(3, 10):
 plt.plot(xs, [poison_pdf(i, j) for j in xs], 
 '-', label=r'$\lambda={0}.format(i))
ax.yaxis.set_major_formatter(FuncFormatter(to_percent))
plt.legend();

可以看到，随着λ的逐渐增大，泊松分布的概率密度函数形态越来越接近正态分布。