泊松分布证明（用泊松分布来解释为什么HashMap的链表变树的阈值是8）

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前言

有网友指出《面试Java——集合之HashMap和ConcurrentHashMap》一文，关于为什么是8，还可以加一句符合泊松分布。于是我了解一下泊松分布后，确实和网友说的一致，同时非常感谢网友指出文章存在的瑕疵。接下来的内容，大头菜将试图用泊松分布来论证HashMap的链表变树的阈值为什么是8。

泊松分布

首先，什么是泊松分布？

维基百科官方解释：

泊松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution）又称Poisson分布、帕松分布、布瓦松分布、布阿松分布、普阿松分布、波以松分布、卜氏分布、帕松小数法则（Poisson law of small numbers），是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等。

泊松分布的概率质量函数为：

我总结一下，简单点来说：泊松分布就是描述单位时间内，独立事件发生的次数。

简单举个例子，让大家熟悉一下：

比如：某医院平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？

有可能出生6个，也有可能一个都不出生，这是我们没法知道的。

如果尝试用泊松分布来表示：等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。

接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。

接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。

泊松分布的图形大概是下面的样子。

可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。

看完例子后，你应该对泊松分布有一个大概的认识了。接下来，我们尝试使用泊松分布去分析HashMap的链表变树。

HashMap的链表变树阈值为什么是8

根据泊松分布：单位时间内，独立事件发生的次数。

HashMap的key碰撞问题，每次key的碰撞，都可以认为是一次独立事件。与上次或下次是否发生key碰撞，都无关系。

因此，用泊松分布尝试表示：P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，每1秒key发送碰撞的次数为k，就表示为 P(N(1) = k) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。关于一个key是否发生碰撞的概率为0.5。

e^-0.5 = 0.6065

把相应数值代入泊松分布公式：

P(N(1)=k) = 0.6065*(0.5^k)/k!

当k=0时，P= 0.6065当k=1时，p= 0.3032当k=2时，p= 0.0758当k=3时，p= 0.0126当k=4时，p= 0.0015当k=5时，p= 0.0001当k=6时，p= 0.000013当k=7时，p= 0.0000009当k=8时，p= 0.00000006当k=9时，p= 0.000000003

有没有发现上述的结果有点熟悉：

对比一下HashMap的注释：

*0:0.60653066
*1:0.30326533
*2:0.07581633
*3:0.01263606
*4:0.00157952
*5:0.00015795
*6:0.00001316
*7:0.00000094
*8:0.00000006
*more:lessthan1intenmillion

当k=9时，也就是发生的碰撞次数为9次时，概率为亿分之三，碰撞的概率已经无限接近为0。

如果设置为9，意味着，几乎永远都不会再次发生碰撞，换句话说，链表的长度此时为8，要发生碰撞才会从链表变树。但永远都不会变树，因为概率太小了。因此设置为9，实在没必要。

这就是链表变树的阈值为8的原因。

参考资料

维基百科阮一峰的网络日志——《泊松分布和指数分布：10分钟教程》

絮叨

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