四色定理证明（一个历时100）

一个平面地图只用四种颜色即可区别开相邻的国家？

1852 年10 月23 日, 英国数学家德 摩根(A. De Morgan, 1806-1871) 在给他的好朋友、数学家哈米尔顿(W.R.Hamilton, 1805-1865) 的一封信中写道:

“今天, 我的一位学生让我说明一个事实的道理, 这是我以前未曾想到而现在仍然难以解释的一个事实. 他说任意划分一个图形并对其各个部分染上颜色, 使得任何具有公共边界的部分具有不同的颜色, 那么只需要四种颜色就够了.”

这是历史上有关四色问题的第一次书面记载. 原来, 弗里德里克 古德里(Frederick Guthrie) 和弗兰西斯 古德里(Francis Guthrie) 兄弟俩在伦敦大学时都是德 摩根的学生, 弟弟弗兰西斯首先发现了四色定理, 即在一个平面地图上只用四种颜色即可区别开相邻的国家, 但他直到大学毕业也不能证明这个结论. 于是, 他就把这些想法告诉了他的哥哥弗里德里克, 后者当时正在选修德 摩根的数学课程. 弗里德里克就此问题向德 摩根求教, 德摩根对这个四色问题十分感兴趣, 并作了深入的研究, 但他同样也无法给出它的严格证明, 只好写信向哈密尔顿求助. 有趣的是, 德 摩根在给哈米尔顿的信中还写下了这样一段话:

“我的学生说这是他在给一幅英国地图着色时提出的猜想, 我越想越觉得这是显然正确的结论.如果您能举出一个简单的例子来否定它, 那就说明我像一头蠢驴, 我只好做史芬克斯啦.”

这里提到的史芬克斯(Sphynx) 为希腊神话中的狮身人面怪兽, 它提出离奇古怪的谜语让过路人猜, 猜不中就将过路人杀死, 但有一次它提出的谜语被猜出后, 史芬克斯却因羞惭而跳崖.

哈密尔顿在收到德 摩根的信后, 却表示对此四色问题不感兴趣. 他在给德 摩根的回信中写道: “我不可能很快地去尝试你的四种颜色问题”. 尽管如此, 德 摩根并不灰心, 他坚持认为四色问题有其独特的价值, 并不断地向数学界传播, 试图吸引其他数学家的注意力和好奇心.

1878 年6 月13 日, 英国当时最著名的数学家凯莱(A.Cayley, 1821-1895) 在伦敦数学学会上询问四色问题是否已经得到了证明. 随后, 他很快向皇家地理学会递交了一篇短文, 仔细地分析了这个问题的困难所在, 并从数学上严格地叙述了四色定理. 在文章最后, 凯莱也说:

“我一直没有得到这个证明”.

从此, 四色问题在数学界变成了一个人人皆知的难题, 许多一流的数学家都纷纷加入了证明四色问题的队伍中.1879 年, 凯莱的一名学生、时为律师的肯普(A.B.Cempe, 1849-1922) 宣布他证明了四色问题, 震惊了整个数学界. 肯普的证明发表在美国数学杂志上, 他的论证过程极为巧妙, 引入了大量基本的思想, 并且得到了凯莱和西尔外斯特(J.J.Sylvester, 1814-1897) 等数学家的认可, 于是大家都认为四色问题已经被证明了.

然而, 到了1890 年, 数学家希伍德(P.J.Heawood, 1861-1955) 发现了在肯普的证明中存在着一个致命的错误. 肯普本人也承认了自己证明的缺陷, 同时说明他本人无法去掉它. 于是, 这个貌似简单的四色问题仍然是一道横亘在数学家面前的难题, 仿佛是向人类的智力和毅力提出的一个挑战.

到了20 世纪, 美国数学家伯克霍夫(G.D.Birkhoff, 1884-1944) 于1913 年在检查肯普证明漏洞的基础上, 引进和发展了一些新的技术, 为日后四色问题的证明奠定了基础. 接着, 又有一些数学家, 如弗兰克林(P.Franklin, 1898-1965) 等人, 不断地探询和改进对四色问题的证明. 特别是随着电子计算机的问世, 由于计算速度的快速提高, 大大加快了对四色问题证明的进程. 终于在1976 年, 美国数学家阿佩尔(K.Apper) 与哈肯(W.Haken) 在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上, 花费了1200 多个小时, 验证了100 多亿个逻辑判断, 最后完成了四色定理的证明, 再次轰动了整个世界. 它的意义不仅在于解决了一个历时100 多年的难题, 而且由于使用了计算机, 引起了人们对数学证明新的思考和辩论.

时至今日, 尽管四色问题已经得到了计算机的证明, 但它毕竟不是传统意义上的一个数学证明. 因此, 仍然有许多数学家, 甚至还有无数的数学爱好者, 都在继续寻求一种四色问题的逻辑证明.

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