证明函数在区间内可导（高中数学）

一、定义

设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，(x0+Δx)也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记作f'(x0)或df(x0)/dx。

利用定义法求导步骤：

1.求增量Δy。

2.算比值Δy/Δx。

3.Δx→0，Δy/Δx→常数。

二、几何意义

函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示曲线在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。

三、常见函数的导数

四、导数的四则运算

两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)。即：(u±v)'=u'±v'。

两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。即：(uv)'=u'v+uv'。

两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方。即(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。

五、复合函数求导方法

设u=g(x)，则f(u)求导得：f'(x)=f'(u)·g'(x).

六、函数的单调性判别

函数在某区间内可导，若导数大于零,则单调递增；若导数小于零,则单调递减。

已知函数为递增函数,则导数大于等于零；已知函数为递减函数,则导数小于等于零。

可导函数的单调性，可按如下步骤确定：

1.确定函数的定义域；

2.求函数的导数，令导数值等于零，求出分界点；

3.根据分界点将定义域分成若干开区间；

4.判断函数的导数在各个开区间内的符号，即可判定函数的单调性。

七、函数的极值与最值

函数的极值的定义：若函数f(x)在x0的一个邻域D有定义，且对D中除x0的所有点，都有f(x)

同理，若对D的所有点，都有f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

函数的最值：最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。

①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

八、导数的综合运用

1.利用导数证明不等式

2.根与零点问题

3.导数应用题