柯西收敛准则的证明（当领导让你把单调有界原理）

​“极客君，听说你大学的专业是数学？”

“是的，领导。”

“那好，你把这几道小学数学题做出来。”

“领导...请你尊重数学这个专业，数学是......”

“请问单调有界原理、柯西收敛准则、确界原理、闭区间套定理、数列收敛定理之间如何相互证明？”

“领导，小学数学题在哪儿？”

“不就在下面吗？极客君，你近视吗？”

......

一、逛公园竟然遇到灌水问题？

五一小长假的某天，阿槑和阿呆到人民公园玩耍。他们看到园区工作人员小李正在给公园水池换水，于是阿呆给阿槑出了道题。题目如下：

公园水池每周需换一次水，而水池有甲、乙、丙三根进水管。

公园工作人员小李第一周按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序轮流打开1小时，恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池。

第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟。

第四周他把三个进水管同时打开，灌满一池水用了2小时20分。第五周他只打开甲进水管，那么灌满一池水需用____小时。

（私信回复“游泳池”获取答案！）

极客君的解题思路：

第一种情况：假如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序轮流打开1小时，恰好在打开丙管1小时后灌满空水池，则第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲的顺序轮流打开1小时，应在打开甲管1小时后灌满一池水，不合题意。

第二种情况：假如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序轮流打开1小时，恰好在打开乙管1小时后灌满空水池，则第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲的顺序轮流打开1小时，应在打开丙管45分钟后灌满一池水；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲的顺序轮流打开1小时，应在打开甲管后15分钟灌满一池水。比较第二周和第三周，发现开乙管1小时和丙管45分钟的进水量与开丙管、乙管各1小时加开甲管15分钟的进水量相同，矛盾，所以第二种情况也不符合。

第三种情况：第一周是在开甲管1小时后灌满水池的。比较三周发现，甲管1小时的进水量与乙管45分钟的进水量相同，乙管30分钟的进水量与丙管1小时的进水量相同，三管单位时间内的进水量之比为3:4:2。

那么你们知道当小李第五周只打开甲进水管，用多少小时灌满一池水吗？

二、从公园骑车回家也能遇到行程问题？

阿槑和阿呆一直玩到下午六点，阿槑告别阿呆后以均匀速度骑着共享单车往家赶。

他观察来往的公交车，他发现每隔12分钟有一辆公交车从后面超过他，每隔4分钟迎面开来一辆。

如果所有公交车都以相同的速度行驶，发车间隔时间也相同，那么调度员每隔几分钟发一辆车？

极客君的解题思路：

汽车间隔距离是相等的，可列出等式为：（汽车速度-自行车速度）×12=（汽车速度+自行车速度）×4

那么可以得出：汽车速度=自行车速度的2倍。汽车间隔发车的时间=汽车间隔距离÷汽车速度=（2倍自行车速度-自行车速度）×12÷2倍自行车速度=6（分钟）。

三、不是吧，在家也能遇到浓度问题？

阿槑到家发现妈妈正准备稀释84消毒液给厕所消毒，妈妈问阿槑：“这一盆里盛着水，另一盆里盛着84消毒液，由于84消毒液具有腐蚀性，必须用水稀释后才能用于消毒。

现在我把A盆里的液体倒入B盆，使其液体的体积翻了一番，然后我又把B盆里的液体倒进A盆，使A盆内的液体体积翻番。

最后我又将A盆中的液体倒进B盆中，使B盆中液体的体积翻番。此时我发现两个盆里盛有同量的液体，而在B盆中，水比84消毒液多出1升。

现在问你，开始稀释时有多少水和84消毒液，在结束时，每个桶里又有多少水和84消毒液？”

极客君的解题思路

假设一开始A盆中有液体x升，B盆中有y升。

第一次将A盆的液体倒入B盆后，B盆有液体2y升，A盆剩（x-y）升；

第二次将B盆的液体倒入A盆后，A盆有液体2（x-y）升，B盆生（3x-y）升；

第三次将A盆的液体倒入B盆后，B盆有液体（6x-2y）升，A盆剩（3x-5y）升。

由此时两盆的液体体积相等，得3x-5y=6y-2x，5x=11y，x:y=11:5。

现在还不知道A盆中装的是84消毒液还是水，可以将稀释84消毒液的过程列成下表：

由上表可以看出，最后B盆中的液体，原A盆液体与原B盆液体的比是5:3，而题目中说“水比84消毒液多1升”，所以原A盆中是水，原B盆中是84消毒液。

因为在5:3中，“5-3”相当于1升，所以2个单位相当于1升。

由此可得，开始稀释时，A盆中有5.5升水，B盆中有2.5升84消毒液；稀释完成时，A盆中有3升水和1升84消毒液，B盆中有2.5升水和1.5升84消毒液。

“领导，做好了，你看看？”

“极客君，我不用看，毕竟你大学专业是数学。”

“......”

上面三道题，你们做对了几道呢？

留言告诉我哟~