小学数学数形结合案例（高考数学必备技能）

距离2020年高考还有335天...

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高考，是一场无硝烟战争的结束，也是另一场战争的开始，希望2020年参加高考的学子们能够“不忘初心 牢记梦想”，每天进步一点点，明年的今天收获丰硕的果实！

本文总结了高考数学常见的数形结合思想求解方程的根、函数零点，解不等式或求参数范围，求最值或范围，求函数值域这四种类型题的解题方法。

【今日要点】★★★★★数形结合思想

数无形时少直觉，形少数时难入微。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，且两者之间是密切联系的。数形结合思想作为四大数学思想之一，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面：

①以形助数：借助形的几何直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；

②以数辅形：借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合思想解决的问题有以下几种：

(1) 集合问题：借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算。

(2) 函数问题：借助于图象研究函数的单调性、最值、零点等。

(3) 方程与不等式：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

(4) 三角函数：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理。

(5) 线性规划：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

(6) 数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数，把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

(7) 解析几何：将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

(8) 立体几何：用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

(9) 绝对值问题：画数轴，根据绝对值的性质（一点到另一点的距离）得到一个范围，从而解出绝对值。

（1）数形结合思想求解方程的根、函数零点

用函数的图像讨论方程的解的个数是一种重要的解题方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出这两个函数的图像，图像的交点个数即为方程解的个数。数形结合可用于解决方程的解的问题，准确合理地作出满足题意的图像是解决这类问题的前提。

（2）数形结合思想解不等式或求参数范围

解不等式或求参数范围问题经常联系函数的图像，根据不等式中量的特点，选择适当的两个函数，利用两个函数图像的上下位置关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答。

（3）数形结合思想求最值或范围

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：①要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义又分析其代数意义；②要恰当设立参数，合理建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；③要正确确定参数的范围。求最值或范围可以解决以下几种问题：

1. 与斜率有关的问题

2. 与距离有关的问题

3. 与截距有关的问题

4. 与定义有关的问题

（4）数形结合思想求函数值域

若函数的解析式具有较明显的几何意义，如：

作者：云中海，浙江大学硕士毕业生，高考数学领域创作者，致力于帮助全国各地的高考学子培养数学慧眼，拓展数学思维，提高数学素养，以最高的效率快速提升数学成绩，让数学不再成为实现大学梦想的绊脚石！

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