如何证明等腰三角形（经典等腰直角三角形和斜边上中点）

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考试题目(8分)

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是边AB的中点.

（1）如果线段AB的长度是10，那么点C到点D的距离是 ；

（2）如果点M，N分别在线段BC，AC上移动，在移动中保持CN=BM，请判断△DMN的形状，并加以证明.

考题分析

（1）略

（2）如果出现直角三角形和斜边上的中点，那么我们学到的知识点，毫无疑问画连接这个中点和直角点。问题就方便解决了。

∵D是BA的中点，AC=BC，

∴CD⊥AB，∠DCA=∠DCB.

∵DC=DB，

∴∠DCB=∠DBC.

∵∠DCA=∠DCB，∠DCB=∠DBC，

∴∠DCA=∠DBC.

∵CN=BM，∠DCA=∠DBC，BD=CD，

∴△CDN≌△BDM，

∴DN=DM，∠NDC=∠MDB.

∵CD⊥BA，

∴∠CDB=90°.

∵∠NDM=∠NDC+∠CDM，∠CDB=∠CDM+∠MDB=90°，∠NDC=∠MDB，

∴∠NDM=90°.

∵∠NDM=90°，DN=DM，

∴△DMN是等腰直角三角形.

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