乘法分配律证明（几何原本）

在前面三篇文章，我通过《几何原本》第五卷中的命题1、命题2、命题5、命题6，命题3以及命题4介绍了《几何原本》是如何证明“乘法分配率”、“乘法结合律”以及如何证明“等式两边同时乘以相同数，等式两边仍然相等的”。这一讲我继续带着大家学习《几何原本》第五卷中的命题7以及命题7的推论，它们一起证明了“等式两边同时取倒数，等式仍然相等。”

因为命题7的证明需要用到定义5的结论，定义5又是如此重要，所以在开始介绍命题7前，我还是需要再一次先向大家介绍定义5:

定义5:有四个量，第一量比第二量与第三量比第四量叫作有相同比。如果对第一与第三个量取相同倍数，又对第二与第四个量取相同倍数，第一与第二倍量之间依次有大于、等于或小于的关系，那么第三与第四倍量之间也有相应的关系。

备注:

1、定义中第一句的意思是，有四个量，分别为α（第一量）、β（第二量）、γ（第三量）、θ（第四量），且α/β=γ/θ。

2、如果将第一个量α与第三个量β都乘以任一整数m，将第三个量γ与第四个量θ乘以任一整数n，则有:

①如果mα>nβ，那么mγ>nθ；

②如果mα=nβ，那么mγ=nθ；

③如果mα

3、此定义是欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus)比例理论的核心，即使α、β、γ等是无理数，此定义仍然成立。

有了定义5的结论，下面让我们一起来看看命题7是如何证明“等式两边同时取倒数，等式仍然相等”的:

命题7:相等的量比同一个量、其比相同，且同一个量比相等的量，其比也相同。

已知A和B是相等的量，C是其他的任意的量。

目标:证明A和B分别比C，其比相同、且C分别比A和B，其比也相同。

证明:

1、设D和E分别是A和B的同倍量，F是C的倍量。

2、因为D和E分别是A和B的同倍量，且A等于B，所以D等于E。

3、又因为F是另外的任意量，所以:

①如果D大于F，E也大于F;

②如果D等于F，E也等于F;

③如果D小于F，E也小于F。

4、又因为D和E分别是A和B的同倍量，F是C的任意倍量，所以A比C等于B比C。(第5卷 定义5)

说明:通过步骤3得出的已知条件逆运用定义5的结论，证明了A/C=B/C。

5、因为D等于E，F是一个另外的量，所以:

①如果F大于D，则它(F)也大于E;

②如果F等于D，则它(F)也等于E；

③如果F小于D，则它(F)也小于E。

6、又因为F是C的倍量，D和E分别是A和B的另外的倍量，所以C比A等于C比B。(第5卷 定义5)

说明:通过步骤5得出的已知条件逆运用定义5的结论，证明了C/A=C/B。

7、综上、相等的量比同一个量，其比相同，且同一个量比相等的量，其比也相等。

证明完毕。

备注:本命题相当于证明了如下结论:

如果有三个量A、B、C，且有A=B。

那么:A/C=B/C，C/A=C/B。

该命题相当于证明了“等式两边同时取倒数，等式仍然相等。”。当然这种证明有很大的局限性，毕竟是通过一种特例进行的证明，没有推广到一般情况。

不过不要急，命题7的推论将“等式两边同时取倒数，等式仍然相等”的结论扩展到了一般形式。

命题7推论:由此，很明显，如果几个量成比例，那么它们也是这个比例的反比例。

备注:

1、如果有几个量成比例:

这句话的意思是有几个量，可能有4个量，也可能有6个、8个量……，这里我们以4个量举例。假设有4个量，分别为α、β、γ、θ，它们成比例，也就是满足α/β=γ/θ的关系。

2、那么它们也是这个比例的反比例:

这句话是接着第一句话说的，这里还是以α、β、γ、θ这4个量举例，因为α/β=γ/θ，所以它们的反比例也成立，即β/α=θ/γ。

命题7的推论将命题7中“等式两边同时取倒数，等式仍然相等”的结论扩展到了一般形式，不过《几何原本》没有给出推论的证明，但其实它的证明方法是和命题7一样的，大家如果感兴趣，可以模仿命题7的证明方式进行证明。

好了，这一讲就到这了。

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