证明柯西中值定理（数学笔记）

一、泰勒中值定理

定理：

设f(x)在x=x0邻域内(n+1)阶可导，则：

f(x)=Pn(x)+Rn(x)，其中：

Pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!]*(x-x0)^2+...+[f^(n)(x0)/n!]*(x-x0)^n

Rn(x)=[f^(n+1)(x0)/(n+1)!]*(x-x0)^(n+1)

证明：
对Pn(x)进行求导：
Pn'(x)=f'(x0)+[f''(x0)/2!]*(x-x0)^2+...+[f^(n)(x0)/n!]*(x-x0)^n
Pn''(x)=f''(x0)+...+[f^(n)(x0)/n!]*(x-x0)^n
Pn^(n)(x)=f^(n)(x0)
Pn^(n+1)(x)=0
因此
f(x0)=Pn(x0),f'(x0)=Pn'(x0)......f^(n)(x0)=Pn^(n)(x0)
令Rn(x)=f(x)-Pn(x)
Rn(x0)=0,Rn'(x0)=0......Rn^(n)(x0)=0
Rn^(n+1)(x)
=f^(n+1)(x)-Pn^(n+1)(x)
=f^(n+1)(x)
由柯西中值定理
Rn(x)/(x-x0)^(n+1)
=[Rn(x)-Rn(x0)]/[(x-x0)^(n+1)-(x-x0)^(n+1)]
=Rn'(ξ1)/[(n+1)(ξ1-x0)^n]（ξ1在x与x0之间）
=[Rn'(ξ1)-Rn'(x0)]/[(n+1)(ξ1-x0)^n-(n+1)(x0-x0)^n]
=Rn''(ξ2)/[n(n+1)(ξ2-x0)^(n-1)]（ξ2在x0与ξ1之间）
、、、、、、
=[Rn^(n)(ξn)-Rn^(n)(x0)]/[(n+1)n...2(ξn-x0)-(n+1)!(x0-x0)]
=Rn^(n+1)(ξ)/(n+1)!（ξ在x0与ξn之间）
=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!
=>Rn(x)=[f^(n+1)(ξ)/(n+1)!]*(x-x0)^(n+1)

二、麦克劳林公式

在泰勒公式：

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!]*(x-x0)^2+...+[f^(n)(x0)/n!]*(x-x0)^n+Rn(x)中

若：x0=0

则：f(x)=f(0)+f'(0)x+(f''(0)/2!)*x^2+......+(f^(n)(0)/n!)*x^n+Rn(x)

推论：f(x)在x=x0邻域内n阶可导，则对任意的x0去心邻域内点x都有：

f(x0=Pn(x)+o((x-x0)^n)

Rn(x)的两种表达形式：

（1）拉格朗日型：[f^(n+1)(ξ)/(n+1)!]*(x-x0)^(n+1)

（2）皮亚诺型：o((x-x0)^n)