反函数的求导法则证明（数学笔记）

一、基本初等函数求导

部分：

1、(c)'=0

2、(x^n)'=nx^(n-1)

3、(a^x)'=a^x lna, (e^x)'=e^x

4、(loga(x))'=1/(xlna), (lnx)'=1/x

5、(sinx)'=cosx, (cosx)'=-sinx

二、四则求导法则

设u(x),v(x)可导，则：

1、[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)

2、[u(x)v(x)]'=u'(x)v'(x)

3、设v(x)≠0,则[u(x)/v(x)]'=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v(x)^2

推论：

（1）(ku)'=ku'

（2）(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'（n个相乘的导数也和这个类似）

三、反函数求导法则

y=f(x)在定义域内严格单调：y=f(x) -> x=g(y)

定理：设y=f(x)可导，且f'(x)≠0，x=g(y)为反函数，则：

x=g(y)可导，且g'(y)=1/f'(x)

证明：f'(x)=lim(Δx->0)(Δy/Δx)≠0 => Δy=0

g'(y)

=lim(Δy->0)(Δx/Δy)

=lim(Δy->0)[1/(Δy/Δx)]

=1/[lim(Δx->0)(Δy/Δx)]

=1/f'(x)

四、剩余基本初等函数导数（反函数求导法则实现）

1、y=arcsinx (-1

反函数x=siny

由f'(x)=1/g'(y)得

(arcsinx)'=1/cosy

∵ -1

∴ -π/2 cosy>0

∴ (arcsinx)'=1/√(1-siny^2)=1/√(1-x^2)

2、y=arccosx (-1

反函数x=cosy

由f'(x)=1/g'(y)得

(arccosx)'=-1/siny

∵ -1

∴ 0 siny>0

∴ (arcsinx)'=-1/√(1-cosy^2)=-1/√(1-x^2)

3、y=arctanx

反函数x=tanx

由f'(x)=1/g'(y)得

(arctanx)'=1/secy^2

∵ -∞

∴ -π/2

∴ (arctanx)'=1/(1+tany^2)=1/(1+x^2)

3、y=arccotx

反函数x=cotx

由f'(x)=1/g'(y)得

(arccotx)'=-1/cscy^2

∵ -∞

∴ 0

∴ (arccotx)'=-1/(1+coty^2)=-1/(1+x^2)

五、复合函数求导法则

定理：y=f(u)可导,u=g(x)可导, 且g'(x)≠0

则y=f[g(x)]可导

且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=f'(u)g'(x)=f'[g(x)]g'(x)

六、总结-求导三大工具

1、基本公式：基本初等函数的求导

2、四则求导法则

3、复合求导法则-链式求导