阿氏圆证明（2000年前的人类就已经研究透彻）

2025-08-12 21:54:01 阅读 379 评论 0

摘要：定理：已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆。该定理最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，所以又称阿氏圆。阿波罗尼斯简介：图库中没找到阿波罗尼斯的图，用阿基米德代替了，反正长的都差不多很多人知道阿波罗尼斯，就是因为阿氏圆这个定理，然

定理：已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆。该定理最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，所以又称阿氏圆。

阿波罗尼斯简介：

图库中没找到阿波罗尼斯的图，用阿基米德代替了，反正长的都差不多

很多人知道阿波罗尼斯，就是因为阿氏圆这个定理，然而事实上阿波罗尼斯的成就远非如此，与他齐名的数学家是欧几里得、阿基米德。欧几里得是著名的《几何原本》的作者，而阿基米德就是那个一言不合就要翘起地球，在家洗洗澡就发现浮力定律的人。显然，一个小小的圆的轨迹的发现，是不足以和这两个人齐名的。阿波罗尼斯最伟大的地方在于他对于圆锥曲线的贡献。著有《圆锥曲线论》，该书代表着古希腊几何的最高水平，凭一人之力，将圆锥曲线的性质研究殆尽，致使后人没有任何可以插足的地方。

直到17世纪，笛卡尔发现的坐标系，建立了解析几何体系，圆锥曲线才有所突破。要知道阿波罗尼斯生于约公元前260年，逝世于约公元前190年。著有《圆锥曲线论》的时间虽然不得精准考证，但怎么说也得公元前200多年。简单推算，在阿波罗尼斯完成《圆锥曲线论》后的近1800多年的时间，圆锥曲线毫无进展！

书中太多的辅助线，用于几何证明，没有相当强的几何功底，读起来会十分困难。本文截取一部分对于高中数学有帮助的地方，一起来领略圆锥曲线的美。

为什么叫圆锥曲线？

很多同学在学完高中数学中的椭圆，双曲线等后，问：“什么时候学圆锥曲线啊？”也就是说很多学生在学完圆锥曲线后并不知道什么是圆锥曲线！这也不奇怪，因为在函数一章，“函数”这个词总是翻来覆去的出现，但是在圆锥曲线一章中，大量出现的词是“椭圆，双曲线，抛物线”，从来没提到过“圆锥曲线”。事实上，这要从阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》谈起。

截面定义法：

在两个全等的顶点重合的倒圆锥中，用一个平面去截圆锥。

当平面垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；

当平面渐渐开始倾斜，得到椭圆；

当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；

当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。

截面定义法的动态展示

从严格意义上讲，圆锥曲线也包括几个退化形式：

当平面与圆锥面的母线平行，并且且过圆锥顶点时，此时退化为一条直线。

当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。（即圆锥的顶点）

当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

在阿波罗尼斯的截面定义法中，虽然未明确提出，但涉及了圆锥曲线的标准定义。换言之，也叫第一定义，是我们最熟知的定义方式，尤其在高中数学中利用圆锥曲线的定义解题简直会占解析部分的半壁江上！

拿椭圆来说，定义：平面内到两个定点的距离等于定长的点的轨迹！

这种证明方式在现代数学的观点下很容易，建立个坐标系就直接搞定了。然而在古希腊时期的阿波罗尼斯，却令人惊叹的给出了标准定义，这个证明方法也是令人称奇，不得不佩服古希腊数学家的脑洞！

大体的证明思路是在圆锥中作截面，然后再作两个内切球，利用两个内切球的半径，得到两个距离的和是定长。由于很难用图文形式说明，如果有小伙伴对此感兴趣，今后我们可以视频说明！

焦点--准线定义法

这种观点是由帕斯卡提出。建立在笛卡尔的平面直角坐标系之后，诞生了解析几何，从而圆锥曲线也开始大幅度发展。

到定点F（焦点）的距离与到定直线l（准线）的距离的比是常数e（离心率）的点的轨迹。

当0

当e>1时，为双曲线；

当e=1时，为抛物线；

当e=0时，退化为一点。

焦点--准线观点下的圆锥曲线有很多优美的结论，并且把圆锥曲线用统一的定义形式完成。所以这种定义方式也备受青睐！

温馨提示：在我们这票80后读书的时候，圆锥曲线的第二定义在高考中还是需要的，但是现如今的高考数学并不需要掌握，在考纲中没有被提及。这里仍然建议学生和老师多了解第二定义，其一，既然学一次解析几何，尽可能的让自己的数学体系更加完备；其二，很多高考中很多的圆锥曲线题目，在第二定义下显得特别的简单易懂，高观点下看高考数学岂不是很快乐？