阿氏圆证明（PA）

“PA+k·PB”型最值问题在近些年中考真题和模考题中时有出现，是考查的热点更是难点内容。

当 k 值为 1 时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型 来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。

而当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无

法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同分两类处理：

点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。

阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足PA=kPB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

在几何画板上观察下面的图形，当P在在圆A上运动时，PC、PB的长在不断的发生变化，但AB与AC的比值却始终保持不变。

在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A"型相似(也叫"母子型相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。

模型探究

如图所示 ，⊙O 的半径为 r,点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点，

已知 r=k·OB.连接 PA、PB，

则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？

解题关键：

如何确定“k·PB”的大小，需要将“k·PB”进行转化。

如何转化？

通过构造母子型相似三角形，将“k·PB”进行转化。

如何构造？

在线段OB上截取 OC 使 OC=k·r,

半径的平方（r2）= 原有线段（OP）×构造线段（OC）。

构造共边共角型相似三角形，也就是母子型相似三角形

证明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。

∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即 A、P、C

三点共线时最小，本题得解。

“ 阿氏圆 ” 一般解题步骤：

第一步：连接动点至圆心 O （将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接 OP、OB；

第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OB长度；

第三步：计算这两条线段长度的比OP/OB=k；

第四步：在OB 上取点C ，使得OC/OP=OP/OA；

第五步：连接 AC ，与圆 O 交点即为点P.

模型应用举例：

模型应用练习：